Номер 14, страница 67 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, основание которого равно 1, а высота равна 2. Изобразите эту окружность.

Обозначим равнобедренный треугольник как $ABC$, где $AC$ — основание, а $AB=BC$ — боковые стороны. Пусть $BH$ — высота, проведенная к основанию. По условию задачи, длина основания $AC = 1$, а высота $BH = 2$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Это означает, что точка $H$ делит основание $AC$ пополам. Следовательно, $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — длины сторон треугольника, а $S$ — его площадь. Нам нужно найти длины боковых сторон и площадь треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем длину боковой стороны $AB$:
$AB^2 = AH^2 + BH^2$
$AB^2 = (0.5)^2 + 2^2 = 0.25 + 4 = 4.25$
$AB = \sqrt{4.25} = \sqrt{\frac{17}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2}$.
Так как треугольник равнобедренный, то $BC = AB = \frac{\sqrt{17}}{2}$.

Теперь вычислим площадь треугольника $ABC$:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$.

Подставим найденные значения длин сторон ($a = \frac{\sqrt{17}}{2}, b = \frac{\sqrt{17}}{2}, c = 1$) и площади ($S=1$) в формулу для радиуса описанной окружности:
$R = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4S} = \frac{\frac{\sqrt{17}}{2} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2} \cdot 1}{4 \cdot 1} = \frac{\frac{17}{4}}{4} = \frac{17}{16}$.

Таким образом, радиус описанной окружности равен $\frac{17}{16}$.

Изображение треугольника с описанной около него окружностью:

Ответ: Радиус описанной окружности равен $R = \frac{17}{16}$ (или 1.0625).