Страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

33. Одна из башен в полтора раза выше другой. Расстояние между основаниями башен равно 120 м, а между шпилями — 125 м (рис. 14.23). Чему равна высота каждой башни?

Для решения задачи рассмотрим геометрическую фигуру, образованную башнями и расстояниями между ними. Основания башен и их верхушки (шпили) можно представить как вершины трапеции. Если провести воображаемую линию от шпиля меньшей башни параллельно земле до стены большей башни, мы получим прямоугольный треугольник.

В этом треугольнике:

- гипотенуза $c$ — это расстояние между шпилями, равное 125 м;

- один катет $a$ — это расстояние между основаниями башен, равное 120 м;

- второй катет $b$ — это разница в высоте башен.

Сначала найдем разницу в высоте башен, используя теорему Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

Выразим катет $b$: $b^2 = c^2 - a^2$.

Подставим известные значения:

$b^2 = 125^2 - 120^2$

$b^2 = 15625 - 14400$

$b^2 = 1225$

$b = \sqrt{1225} = 35$ м.

Таким образом, одна башня выше другой на 35 метров.

Теперь воспользуемся условием, что одна из башен в полтора раза выше другой. Пусть высота меньшей башни равна $h$. Тогда высота большей башни будет $1.5h$.

Составим уравнение, исходя из найденной разницы высот:

$1.5h - h = 35$

$0.5h = 35$

$h = \frac{35}{0.5}$

$h = 70$ м.

Это высота меньшей башни. Теперь найдем высоту большей башни:

$1.5 \cdot h = 1.5 \cdot 70 = 105$ м.

Ответ: высота меньшей башни равна 70 м, а высота большей башни — 105 м.

34. Аня, Витя и Сережа живут в домах A, B, C, расстояния между которыми равны соответственно 400 м, 680 м и 840 м (рис. 14.24). Дороги BD и AC пересекаются под прямым углом, и на их пересечении находится школа, в которой учатся ребята. Чему равны расстояния от школы до каждого из домов?

Рис. 14.24

Обозначим дома Ани, Вити и Сережи буквами A, B и C соответственно, а школу — буквой O. По условию, расстояния между домами образуют треугольник ABC со сторонами $AB = 400$ м, $BC = 680$ м и $AC = 840$ м.

Школа (O) находится на пересечении дорог, одна из которых совпадает с отрезком AC, а другая, проходящая через дом B, перпендикулярна ей. Это означает, что отрезок BO является высотой треугольника ABC, опущенной из вершины B на сторону AC. Следовательно, точка O лежит на стороне AC, и образуются два прямоугольных треугольника: $\triangle AOB$ и $\triangle COB$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AOB$:
$AO^2 + BO^2 = AB^2 \implies AO^2 + BO^2 = 400^2 = 160000$

В прямоугольном треугольнике $\triangle COB$:
$CO^2 + BO^2 = BC^2 \implies CO^2 + BO^2 = 680^2 = 462400$

Теперь у нас есть система уравнений. Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить $BO^2$:
$(CO^2 + BO^2) - (AO^2 + BO^2) = 462400 - 160000$
$CO^2 - AO^2 = 302400$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Так как точка O лежит на отрезке AC, то $AO + CO = AC = 840$ м. Подставим это значение:
$(CO - AO)(CO + AO) = 302400$
$(CO - AO) \cdot 840 = 302400$
$CO - AO = \frac{302400}{840} = 360$

Теперь мы получили систему из двух линейных уравнений для нахождения AO и CO:
$CO + AO = 840$
$CO - AO = 360$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти CO (расстояние до дома Сережи):
$2 \cdot CO = 840 + 360 = 1200$
$CO = \frac{1200}{2} = 600$ м.

Теперь найдем AO (расстояние до дома Ани) из первого уравнения: $600 + AO = 840 \implies AO = 840 - 600 = 240$ м.

Наконец, найдем длину высоты BO (расстояние от школы до дома Вити) из уравнения для треугольника $\triangle AOB$:
$BO^2 = AB^2 - AO^2$
$BO^2 = 400^2 - 240^2 = 160000 - 57600 = 102400$
$BO = \sqrt{102400} = 320$ м.

Таким образом, искомые расстояния: от школы до дома Ани (AO) — 240 м, от школы до дома Вити (BO) — 320 м, от школы до дома Сережи (CO) — 600 м.

Ответ: расстояние от школы до дома Ани равно 240 м, до дома Вити — 320 м, до дома Сережи — 600 м.

35. Как далеко видит вокруг себя наблюдатель, находящийся на воздушном шаре, на высоте 10 км над землей? ($R_{\text{земли}} \approx 6400 \text{ км}$).

Для решения этой задачи представим себе сечение Земли, проходящее через ее центр, наблюдателя и точку на горизонте. В этом сечении Земля будет выглядеть как окружность, а линия взгляда наблюдателя на горизонт — как касательная к этой окружности. Наблюдатель, центр Земли и точка на горизонте образуют прямоугольный треугольник.

В этом треугольнике:

• Один катет — это радиус Земли, $R_{земли}$.
• Второй катет — это искомое расстояние до горизонта, которое мы обозначим как $d$.
• Гипотенуза — это расстояние от центра Земли до наблюдателя, равное сумме радиуса Земли и высоты наблюдателя над поверхностью, то есть $(R_{земли} + h)$.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$(R_{земли} + h)^2 = R_{земли}^2 + d^2$

Выразим отсюда $d$:

$d^2 = (R_{земли} + h)^2 - R_{земли}^2$

Раскроем скобки:

$d^2 = R_{земли}^2 + 2 \cdot R_{земли} \cdot h + h^2 - R_{земли}^2$

$d^2 = 2 \cdot R_{земли} \cdot h + h^2$

$d = \sqrt{2 \cdot R_{земли} \cdot h + h^2}$

Подставим известные значения: $h = 10$ км и $R_{земли} \approx 6400$ км.

Поскольку высота $h$ (10 км) значительно меньше радиуса Земли $R_{земли}$ (6400 км), слагаемым $h^2$ в формуле можно пренебречь для упрощения, так как оно очень мало по сравнению с $2 \cdot R_{земли} \cdot h$. Получим приближенную формулу:

$d \approx \sqrt{2 \cdot R_{земли} \cdot h}$

Теперь выполним расчет:

$d \approx \sqrt{2 \cdot 6400 \text{ км} \cdot 10 \text{ км}} = \sqrt{128000 \text{ км}^2} \approx 357.77 \text{ км}$

Округлим результат до целых километров.

Ответ: наблюдатель видит вокруг себя на расстояние примерно 358 км.

36. Кереге

Кереге — сборно-раздвижное основание юрты, которое состоит из отдельных секций решеток (канат), соединенных друг с другом, и образует тем самым круговую стенку (рис. 14.25). Размер юрты зависит от размера ромбовидных отверстий решетки — кереге (рис. 14.26). Один канат имеет по вертикали — 8, по горизонтали — 10 ромбовидных отверстий решеток. Найдите периметр ромба (одного ромбовидного отверстия решетки), если высота и длина каната составляют соответственно 1,6 м и 2,4 м.

Рис. 14.25

Рис. 14.26

Для решения задачи необходимо найти периметр одного ромбовидного отверстия. Сначала определим размеры диагоналей этого ромба.

Пусть $d_1$ — вертикальная диагональ одного ромба, а $d_2$ — его горизонтальная диагональ. Общая высота секции (каната) складывается из 8 вертикальных диагоналей, а общая длина — из 10 горизонтальных диагоналей.

Найдем длину вертикальной диагонали $d_1$:
$d_1 = \frac{\text{Общая высота каната}}{\text{Количество отверстий по вертикали}} = \frac{1,6 \text{ м}}{8} = 0,2 \text{ м}$.

Найдем длину горизонтальной диагонали $d_2$:
$d_2 = \frac{\text{Общая длина каната}}{\text{Количество отверстий по горизонтали}} = \frac{2,4 \text{ м}}{10} = 0,24 \text{ м}$.

Диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они делят ромб на четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Катеты каждого такого треугольника равны половинам диагоналей:
$\frac{d_1}{2} = \frac{0,2}{2} = 0,1 \text{ м}$
$\frac{d_2}{2} = \frac{0,24}{2} = 0,12 \text{ м}$

Сторона ромба $a$ является гипотенузой этого прямоугольного треугольника. Найдем ее длину по теореме Пифагора: $a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$.
$a^2 = (0,1)^2 + (0,12)^2 = 0,01 + 0,0144 = 0,0244$
$a = \sqrt{0,0244} \text{ м}$.

Периметр ромба $P$ равен учетверенной длине его стороны: $P = 4a$.
$P = 4 \times \sqrt{0,0244} = \sqrt{16 \times 0,0244} = \sqrt{0,3904} \text{ м}$.

Для удобства можно вычислить приблизительное значение: $P \approx 0,625$ м или $62,5$ см.

Ответ: Периметр ромба равен $\sqrt{0,3904}$ м, что приблизительно составляет $0,625$ м.

37. Международный комплекс лыжных трамплинов Сункар в Алматы является одним из пяти лучших в мире. Он состоит из двух трамплинов, на которых можно прыгать как в зимнее время на снегу, так и на искусственном покрытии (рис. 14.27). Один из трамплинов в полтора раза выше другого. Расстояние между основаниями трамплинов равно 15 м, а между их верхушками — 25 м. Чему равна высота каждого трамплина?

Рис. 14.27

Для решения задачи представим ситуацию в виде геометрической модели. Два трамплина, расположенные вертикально, линия земли и линия, соединяющая их верхушки, образуют прямоугольную трапецию.

Обозначим высоту меньшего трамплина как $h$. Согласно условию, больший трамплин в полтора раза выше, следовательно, его высота составляет $1.5h$.

В получившейся трапеции:

• параллельные стороны (основания) — это высоты трамплинов, $h$ и $1.5h$.

• высота трапеции — это расстояние между основаниями трамплинов, равное 15 м.

• наклонная сторона — это расстояние между верхушками трамплинов, равное 25 м.

Для нахождения неизвестных высот воспользуемся теоремой Пифагора. Проведем из верхушки меньшего трамплина линию, параллельную земле, до пересечения с большим трамплином. В результате образуется прямоугольный треугольник, у которого:

• один катет равен расстоянию между основаниями трамплинов, то есть 15 м.

• второй катет равен разности высот трамплинов: $1.5h - h = 0.5h$.

• гипотенуза равна расстоянию между верхушками, то есть 25 м.

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Составим уравнение:

$15^2 + (0.5h)^2 = 25^2$

Решим это уравнение относительно $h$:

$225 + 0.25h^2 = 625$

$0.25h^2 = 625 - 225$

$0.25h^2 = 400$

$h^2 = \frac{400}{0.25}$

$h^2 = 1600$

$h = \sqrt{1600}$

$h = 40$ м.

Таким образом, высота меньшего трамплина равна 40 м.

Теперь найдем высоту большего трамплина:

$1.5 \cdot h = 1.5 \cdot 40 = 60$ м.

Ответ: высота меньшего трамплина — 40 м, высота большего трамплина — 60 м.