Страница 74 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Найдите cos A, если:

а) $sin A = \frac{1}{3}$;

б) $sin A = \frac{\sqrt{2}}{3}$.

Для решения этой задачи используется основное тригонометрическое тождество: $sin^2 A + cos^2 A = 1$.

Из этого тождества можно выразить $cos^2 A$:

$cos^2 A = 1 - sin^2 A$

Тогда $cos A = \pm \sqrt{1 - sin^2 A}$.

В контексте геометрии, угол A обычно является углом треугольника, то есть $0° < A < 180°$. Если угол A острый ($0° < A < 90°$), то $cos A > 0$. Если угол A тупой ($90° < A < 180°$), то $cos A < 0$. Так как в условии задачи нет дополнительной информации об угле A, но значения синуса положительны, угол A может быть как острым, так и тупым. Однако, в стандартных школьных задачах такого типа, если не указано иное, обычно ищут значение для острого угла. Будем считать, что A - острый угол, и, следовательно, $cos A$ будет положительным.

а) Найти $cos A$, если $sin A = \frac{1}{3}$.

Используем формулу $cos A = \sqrt{1 - sin^2 A}$:

$cos A = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{9}{9} - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}}$

Упростим полученное выражение:

$cos A = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 2}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Ответ: $ \frac{2\sqrt{2}}{3} $.

б) Найти $cos A$, если $sin A = \frac{\sqrt{2}}{3}$.

Используем ту же формулу $cos A = \sqrt{1 - sin^2 A}$:

$cos A = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{9}} = \sqrt{\frac{9}{9} - \frac{2}{9}} = \sqrt{\frac{7}{9}}$

Упростим полученное выражение:

$cos A = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$

Ответ: $ \frac{\sqrt{7}}{3} $.

4. Могут ли синус и косинус одного угла равняться:

а) $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{1}{3} $;

б) $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{\sqrt{3}}{2} $?

Для того чтобы определить, могут ли синус и косинус одного угла принимать заданные значения, необходимо воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, которое гласит, что для любого угла $\alpha$ справедливо равенство: $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.

Мы должны подставить предложенные значения в это тождество и проверить, выполняется ли оно.

а) Проверим значения $1/2$ и $1/3$.

Пусть $sin(\alpha) = 1/2$ и $cos(\alpha) = 1/3$. Подставим их в тождество:

$(1/2)^2 + (1/3)^2 = 1/4 + 1/9$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю 36:

$1/4 + 1/9 = 9/36 + 4/36 = 13/36$

Результат $13/36$ не равен 1. Следовательно, синус и косинус одного и того же угла не могут быть равны $1/2$ и $1/3$.

Ответ: не могут.

б) Проверим значения $1/2$ и $\sqrt{3}/2$.

Пусть $sin(\alpha) = 1/2$ и $cos(\alpha) = \sqrt{3}/2$. Подставим их в тождество:

$(1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 = 1/4 + ((\sqrt{3})^2 / 2^2) = 1/4 + 3/4$

Сложим дроби:

$1/4 + 3/4 = 4/4 = 1$

Результат равен 1, основное тригонометрическое тождество выполняется. Следовательно, синус и косинус одного и того же угла могут принимать такие значения. Например, для угла $\alpha = 30^\circ$ (или $\pi/6$ радиан) $sin(30^\circ) = 1/2$ и $cos(30^\circ) = \sqrt{3}/2$.

Ответ: могут.

5. Упростите выражение:

а) $ \frac{1}{\cos^2 A} - 1 $

б) $ \frac{1}{\sin^2 A} - 1. $

а) Чтобы упростить данное выражение, приведем его к общему знаменателю. Общим знаменателем является $\cos^2 A$.

$\frac{1}{\cos^2 A} - 1 = \frac{1}{\cos^2 A} - \frac{\cos^2 A}{\cos^2 A} = \frac{1 - \cos^2 A}{\cos^2 A}$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$. Из этого тождества следует, что $1 - \cos^2 A = \sin^2 A$.

Подставим полученное выражение в числитель нашей дроби:

$\frac{\sin^2 A}{\cos^2 A}$

Мы знаем, что отношение синуса к косинусу равно тангенсу: $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$. Соответственно, $\frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} = \tan^2 A$.

Ответ: $\tan^2 A$

б) Упростим второе выражение, также приведя его к общему знаменателю. Общим знаменателем будет $\sin^2 A$.

$\frac{1}{\sin^2 A} - 1 = \frac{1}{\sin^2 A} - \frac{\sin^2 A}{\sin^2 A} = \frac{1 - \sin^2 A}{\sin^2 A}$

Снова обратимся к основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$. Отсюда мы можем выразить $1 - \sin^2 A = \cos^2 A$.

Подставим это выражение в числитель:

$\frac{\cos^2 A}{\sin^2 A}$

Мы знаем, что отношение косинуса к синусу равно котангенсу: $\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}$. Соответственно, $\frac{\cos^2 A}{\sin^2 A} = \cot^2 A$.

Ответ: $\cot^2 A$

6. Используя таблицу приближенных значений тригонометрических функций, найдите приближенное значение:

а) $ \cos 30^\circ $

б) $ \cos 45^\circ $

в) $ \cot 30^\circ $

г) $ \cot 60^\circ $

Для решения данной задачи воспользуемся таблицей приближенных значений тригонометрических функций или вычислим их, исходя из точных значений.

а) Чтобы найти значение $ \cos 30^\circ $, мы можем воспользоваться таблицей тригонометрических функций или вычислить точное значение и затем его округлить. Точное значение $ \cos 30^\circ $ равно $ \frac{\sqrt{3}}{2} $. Приближенное значение $ \sqrt{3} $ равно 1,732. Тогда:
$ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1.732}{2} = 0.866 $
Ответ: $ \cos 30^\circ \approx 0.866 $

б) Аналогично, найдем значение $ \cos 45^\circ $. Точное значение этой функции равно $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Используя приближенное значение $ \sqrt{2} \approx 1.414 $, получаем:
$ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx \frac{1.414}{2} = 0.707 $
Ответ: $ \cos 45^\circ \approx 0.707 $

в) Для нахождения значения $ \text{ctg } 30^\circ $ обратимся к его точному значению, которое равно $ \sqrt{3} $. Приближенное значение этого корня:
$ \text{ctg } 30^\circ = \sqrt{3} \approx 1.732 $
Ответ: $ \text{ctg } 30^\circ \approx 1.732 $

г) Точное значение $ \text{ctg } 60^\circ $ равно $ \frac{1}{\sqrt{3}} $ или $ \frac{\sqrt{3}}{3} $. Вычислим приближенное значение:
$ \text{ctg } 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx \frac{1.732}{3} \approx 0.577 $
Ответ: $ \text{ctg } 60^\circ \approx 0.577 $

7. Какой из углов больше A или B, если:

а) $tg A = 2$, $tg B = 3$;

б) $tg A = 8$, $tg B = 5$?

Для решения этой задачи необходимо знать свойство тригонометрической функции тангенс. Функция $y = \text{tg } x$ является возрастающей на интервале $(0^{\circ}; 90^{\circ})$. Это означает, что если мы сравниваем два острых угла, то большему значению угла соответствует и большее значение его тангенса. И наоборот, если тангенс одного угла больше тангенса другого, то и сам первый угол будет больше второго. В условии задачи значения тангенсов положительные, что соответствует острым углам.

а) Нам дано, что $\text{tg } A = 2$ и $\text{tg } B = 3$.
Сравним значения тангенсов: $2 < 3$, следовательно, $\text{tg } A < \text{tg } B$.
Поскольку функция тангенса возрастает, из неравенства $\text{tg } A < \text{tg } B$ следует, что угол $A$ меньше угла $B$ (то есть $A < B$).
Ответ: Угол B больше.

б) Нам дано, что $\text{tg } A = 8$ и $\text{tg } B = 5$.
Сравним значения тангенсов: $8 > 5$, следовательно, $\text{tg } A > \text{tg } B$.
Так как функция тангенса возрастает, из неравенства $\text{tg } A > \text{tg } B$ следует, что угол $A$ больше угла $B$ (то есть $A > B$).
Ответ: Угол A больше.

8. Найдите tg A, если:

а) $cos A = \frac{5}{13}$;

б) $cos A = 0,8$.

Для нахождения тангенса угла A ($tg A$), зная его косинус ($cos A$), можно использовать основное тригонометрическое тождество $sin^2 A + cos^2 A = 1$ и формулу тангенса $tg A = \frac{sin A}{cos A}$. В условии задачи даны положительные значения косинуса, что соответствует острому углу A. Для острого угла его синус и тангенс также будут положительны.

а)

Дано, что $cos A = \frac{5}{13}$.

1. Найдем синус угла A, используя основное тригонометрическое тождество:

$sin^2 A = 1 - cos^2 A$

$sin^2 A = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169-25}{169} = \frac{144}{169}$

Поскольку угол A острый, $sin A$ положителен:

$sin A = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$

2. Теперь найдем тангенс угла A:

$tg A = \frac{sin A}{cos A} = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = \frac{12}{13} \cdot \frac{13}{5} = \frac{12}{5}$

Переведем дробь в десятичный вид: $\frac{12}{5} = 2,4$.

Ответ: $2,4$

б)

Дано, что $cos A = 0,8$.

1. Найдем синус угла A, используя основное тригонометрическое тождество:

$sin^2 A = 1 - cos^2 A$

$sin^2 A = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$

Поскольку угол A острый, $sin A$ положителен:

$sin A = \sqrt{0,36} = 0,6$

2. Теперь найдем тангенс угла A:

$tg A = \frac{sin A}{cos A} = \frac{0,6}{0,8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Переведем дробь в десятичный вид: $\frac{3}{4} = 0,75$.

Ответ: $0,75$

9. Найдите $\cos A$, если:

a) $\tan A = 3$;

б) $\tan A = 0,5$.

Для решения этой задачи воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и косинус: $1 + \text{tg}^2 A = \frac{1}{\cos^2 A}$. Из этого тождества можно выразить $\cos^2 A$: $\cos^2 A = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 A}$.

Так как в условии не указана четверть, в которой находится угол A, будем исходить из того, что A — это острый угол (например, в прямоугольном треугольнике). В этом случае значение $\cos A$ будет положительным.

а) Дано, что $\text{tg} A = 3$.

Подставим это значение в формулу для $\cos^2 A$:

$\cos^2 A = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 A} = \frac{1}{1 + 3^2} = \frac{1}{1 + 9} = \frac{1}{10}$.

Теперь найдем $\cos A$, извлекая квадратный корень. Поскольку мы предположили, что угол A острый, берем положительное значение корня:

$\cos A = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{10}$:

$\cos A = \frac{1 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{10}$.

б) Дано, что $\text{tg} A = 0,5$.

Для удобства вычислений представим $0,5$ в виде обыкновенной дроби: $0,5 = \frac{1}{2}$.

Подставим значение тангенса в формулу:

$\cos^2 A = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 A} = \frac{1}{1 + (\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}$.

Найдем $\cos A$, взяв положительное значение квадратного корня:

$\cos A = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$\cos A = \frac{2 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

10. Упростите выражение:

а) $\cos^2 A + \operatorname{tg}^2 A \cos^2 A$

б) $\sin^2 A + \operatorname{ctg}^2 A \sin^2 A$

а)Упростим выражение $ \cos^2A + \text{tg}^2A \cos^2A $.
Для этого воспользуемся определением тангенса: $ \text{tg}A = \frac{\sin A}{\cos A} $. Возведя в квадрат, получим $ \text{tg}^2A = \frac{\sin^2A}{\cos^2A} $.
Подставим это соотношение в исходное выражение:
$ \cos^2A + \frac{\sin^2A}{\cos^2A} \cdot \cos^2A $
Во втором слагаемом множитель $ \cos^2A $ в числителе и знаменателе сокращается:
$ \cos^2A + \sin^2A $
Согласно основному тригонометрическому тождеству, сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице: $ \sin^2A + \cos^2A = 1 $.
Таким образом, исходное выражение равно 1.
Ответ: 1

б)Упростим выражение $ \sin^2A + \text{ctg}^2A \sin^2A $.
Для этого воспользуемся определением котангенса: $ \text{ctg}A = \frac{\cos A}{\sin A} $. Возведя в квадрат, получим $ \text{ctg}^2A = \frac{\cos^2A}{\sin^2A} $.
Подставим это соотношение в исходное выражение:
$ \sin^2A + \frac{\cos^2A}{\sin^2A} \cdot \sin^2A $
Во втором слагаемом множитель $ \sin^2A $ в числителе и знаменателе сокращается:
$ \sin^2A + \cos^2A $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2A + \cos^2A = 1 $, получаем, что исходное выражение равно 1.
Ответ: 1

11. Упростите выражение:

а) $ \cos A + \text{tg } A \sin A; $

б) $ \sin A + \text{ctg } A \cos A. $

а) Для упрощения выражения $\cos A + \tg A \sin A$ воспользуемся определением тангенса.

По определению, тангенс угла A равен отношению синуса этого угла к его косинусу: $\tg A = \frac{\sin A}{\cos A}$.

Подставим это определение в исходное выражение:

$\cos A + \tg A \sin A = \cos A + \frac{\sin A}{\cos A} \cdot \sin A$

Умножим $\sin A$ на дробь:

$\cos A + \frac{\sin^2 A}{\cos A}$

Теперь приведем слагаемые к общему знаменателю $\cos A$:

$\frac{\cos A \cdot \cos A}{\cos A} + \frac{\sin^2 A}{\cos A} = \frac{\cos^2 A + \sin^2 A}{\cos A}$

Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$.

Подставим 1 в числитель дроби:

$\frac{1}{\cos A}$

Ответ: $\frac{1}{\cos A}$.

б) Для упрощения выражения $\sin A + \ctg A \cos A$ воспользуемся определением котангенса.

По определению, котангенс угла A равен отношению косинуса этого угла к его синусу: $\ctg A = \frac{\cos A}{\sin A}$.

Подставим это определение в исходное выражение:

$\sin A + \ctg A \cos A = \sin A + \frac{\cos A}{\sin A} \cdot \cos A$

Умножим $\cos A$ на дробь:

$\sin A + \frac{\cos^2 A}{\sin A}$

Теперь приведем слагаемые к общему знаменателю $\sin A$:

$\frac{\sin A \cdot \sin A}{\sin A} + \frac{\cos^2 A}{\sin A} = \frac{\sin^2 A + \cos^2 A}{\sin A}$

Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$.

Подставим 1 в числитель дроби:

$\frac{1}{\sin A}$

Ответ: $\frac{1}{\sin A}$.

12. Докажите тождество $\text{tg} A = \frac{1}{\text{ctg} A}$.

Доказательство

Для доказательства тождества $ \text{tg} A = \frac{1}{\text{ctg} A} $ воспользуемся определениями тангенса и котангенса угла через синус и косинус этого угла. Тождество справедливо для всех углов $A$, для которых его части определены, то есть $ \sin A \neq 0 $ и $ \cos A \neq 0 $.

По определению, тангенс угла — это отношение синуса к косинусу:

$ \text{tg} A = \frac{\sin A}{\cos A} $

А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу:

$ \text{ctg} A = \frac{\cos A}{\sin A} $

Выполним преобразование правой части доказываемого тождества. Подставим в выражение $ \frac{1}{\text{ctg} A} $ определение котангенса:

$ \frac{1}{\text{ctg} A} = \frac{1}{\frac{\cos A}{\sin A}} $

Разделить единицу на дробь — это то же самое, что умножить единицу на дробь, обратную данной (перевернутую):

$ \frac{1}{\frac{\cos A}{\sin A}} = 1 \cdot \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\sin A}{\cos A} $

Полученное выражение $ \frac{\sin A}{\cos A} $ по определению равно тангенсу угла $A$.

$ \frac{\sin A}{\cos A} = \text{tg} A $

Таким образом, мы показали, что правая часть исходного равенства равна его левой части: $ \frac{1}{\text{ctg} A} = \text{tg} A $. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано путем преобразования его правой части к левой с использованием определений тригонометрических функций тангенса и котангенса.

13. Найдите $tgA$, если:

а) $ctgA = 2$;

б) $ctgA = 0,2$.

Для решения данной задачи используется основное тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и котангенс одного и того же угла A:

$ \text{tg}A \cdot \text{ctg}A = 1 $

Из этого тождества следует, что тангенс является величиной, обратной котангенсу. Мы можем выразить $ \text{tg}A $ через $ \text{ctg}A $ следующим образом:

$ \text{tg}A = \frac{1}{\text{ctg}A} $

Используя эту формулу, решим оба пункта задачи.

а) Дано, что $ \text{ctg}A = 2 $.
Подставим это значение в формулу для нахождения тангенса:
$ \text{tg}A = \frac{1}{2} $
Переведем полученную обыкновенную дробь в десятичную:
$ \text{tg}A = 0,5 $
Ответ: $0,5$.

б) Дано, что $ \text{ctg}A = 0,2 $.
Подставим это значение в формулу:
$ \text{tg}A = \frac{1}{0,2} $
Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, можно умножить числитель и знаменатель дроби на 10:
$ \text{tg}A = \frac{1 \cdot 10}{0,2 \cdot 10} = \frac{10}{2} = 5 $
Ответ: $5$.

14. Докажите, что если $\angle A < \angle B$, то $\sin A < \sin B$, а $\cos A > \cos B$.

Данное утверждение справедливо не для всех углов, а для острых, то есть для углов, принадлежащих первой координатной четверти. Будем доказывать утверждение при условии, что углы A и B являются острыми, то есть $0^\circ < \angle A < \angle B < 90^\circ$ (или в радианах $0 < A < B < \frac{\pi}{2}$).

Для доказательства можно использовать свойства монотонности тригонометрических функций на указанном промежутке или доказать неравенства аналитически, используя формулы преобразования разности функций в произведение.

Доказательство, что sin A < sin B

Рассмотрим разность $\sin B - \sin A$. Если мы докажем, что эта разность положительна, то докажем и исходное неравенство.

Воспользуемся формулой разности синусов:

$\sin B - \sin A = 2 \sin\left(\frac{B-A}{2}\right) \cos\left(\frac{A+B}{2}\right)$

Проанализируем знаки множителей в правой части равенства, исходя из условия $0 < A < B < \frac{\pi}{2}$:

1. Рассмотрим аргумент синуса $\frac{B-A}{2}$. Так как $A < B$, то $B-A > 0$. Также $B < \frac{\pi}{2}$ и $A > 0$, значит $B-A < \frac{\pi}{2}$. Таким образом, $0 < \frac{B-A}{2} < \frac{\pi}{4}$. Угол $\frac{B-A}{2}$ находится в первой четверти, где синус положителен. Следовательно, $\sin\left(\frac{B-A}{2}\right) > 0$.

2. Рассмотрим аргумент косинуса $\frac{A+B}{2}$. Так как $0 < A < B < \frac{\pi}{2}$, то $0 < A+B < \pi$. Разделив на 2, получаем $0 < \frac{A+B}{2} < \frac{\pi}{2}$. Угол $\frac{A+B}{2}$ также находится в первой четверти, где косинус положителен. Следовательно, $\cos\left(\frac{A+B}{2}\right) > 0$.

Поскольку оба множителя в выражении $2 \sin\left(\frac{B-A}{2}\right) \cos\left(\frac{A+B}{2}\right)$ положительны, их произведение также будет положительным. Значит, $\sin B - \sin A > 0$, что и доказывает неравенство $\sin A < \sin B$.

Это соответствует тому, что функция $y = \sin x$ является возрастающей на промежутке $(0, \frac{\pi}{2})$.

Ответ: Для острых углов $A$ и $B$ таких, что $\angle A < \angle B$, неравенство $\sin A < \sin B$ выполняется, что и требовалось доказать.

Доказательство, что cos A > cos B

Рассмотрим разность $\cos A - \cos B$. Если мы докажем, что эта разность положительна, то докажем и исходное неравенство.

Воспользуемся формулой разности косинусов:

$\cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin x$, преобразуем выражение:

$\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) = \sin\left(-\frac{B-A}{2}\right) = -\sin\left(\frac{B-A}{2}\right)$

Подставим это в формулу:

$\cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \left(-\sin\left(\frac{B-A}{2}\right)\right) = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{B-A}{2}\right)$

Проанализируем знаки множителей в правой части, как и в предыдущем пункте:

1. Аргумент первого синуса $\frac{A+B}{2}$. Мы уже установили, что $0 < \frac{A+B}{2} < \frac{\pi}{2}$, следовательно, $\sin\left(\frac{A+B}{2}\right) > 0$.

2. Аргумент второго синуса $\frac{B-A}{2}$. Мы также установили, что $0 < \frac{B-A}{2} < \frac{\pi}{4}$, следовательно, $\sin\left(\frac{B-A}{2}\right) > 0$.

Поскольку оба множителя в выражении $2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{B-A}{2}\right)$ положительны, их произведение также будет положительным. Значит, $\cos A - \cos B > 0$, что и доказывает неравенство $\cos A > \cos B$.

Это соответствует тому, что функция $y = \cos x$ является убывающей на промежутке $(0, \frac{\pi}{2})$.

Ответ: Для острых углов $A$ и $B$ таких, что $\angle A < \angle B$, неравенство $\cos A > \cos B$ выполняется, что и требовалось доказать.

15. Докажите тождество $1 + ctg^2 A = \frac{1}{\sin^2 A}$.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, используя основные тригонометрические определения и тождества.

Левая часть тождества имеет вид: $1 + \text{ctg}^2 A$.

По определению котангенса, $\text{ctg} A = \frac{\cos A}{\sin A}$. Подставим это выражение в левую часть тождества:

$1 + \text{ctg}^2 A = 1 + \left(\frac{\cos A}{\sin A}\right)^2 = 1 + \frac{\cos^2 A}{\sin^2 A}$.

Далее приведем слагаемые к общему знаменателю $\sin^2 A$:

$1 + \frac{\cos^2 A}{\sin^2 A} = \frac{\sin^2 A}{\sin^2 A} + \frac{\cos^2 A}{\sin^2 A} = \frac{\sin^2 A + \cos^2 A}{\sin^2 A}$.

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, которое гласит: $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$.

Подставим это значение в числитель полученной дроби:

$\frac{\sin^2 A + \cos^2 A}{\sin^2 A} = \frac{1}{\sin^2 A}$.

Таким образом, мы преобразовали левую часть тождества и получили в результате его правую часть. Это доказывает, что равенство $1 + \text{ctg}^2 A = \frac{1}{\sin^2 A}$ является тождеством.

Ответ: Тождество доказано.

10. Найдите ctg A, если:

а) $sin A = \frac{\sqrt{5}}{5}$

б) $sin A = 0,8$

а) Для нахождения котангенса угла A, зная его синус, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $1 + ctg^2 A = \frac{1}{sin^2 A}$.

Из этого тождества выразим квадрат котангенса:

$ctg^2 A = \frac{1}{sin^2 A} - 1$.

По условию дано, что $sin A = \frac{\sqrt{5}}{5}$. Сначала найдем квадрат синуса:

$sin^2 A = \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2 = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$.

Теперь подставим это значение в формулу для квадрата котангенса:

$ctg^2 A = \frac{1}{1/5} - 1 = 5 - 1 = 4$.

Из этого следует, что $ctg A = \pm\sqrt{4} = \pm 2$. Поскольку в задачах по геометрии обычно рассматриваются острые углы (углы в первой четверти), для которых значения всех тригонометрических функций положительны, мы выбираем положительный корень.

Ответ: $2$.

б) Решим этот пункт аналогично предыдущему, используя то же тригонометрическое тождество $1 + ctg^2 A = \frac{1}{sin^2 A}$.

По условию $sin A = 0,8$. Для удобства вычислений представим это значение в виде обыкновенной дроби:

$sin A = 0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.

Найдем квадрат синуса:

$sin^2 A = \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}$.

Найдем квадрат котангенса по формуле $ctg^2 A = \frac{1}{sin^2 A} - 1$:

$ctg^2 A = \frac{1}{16/25} - 1 = \frac{25}{16} - 1 = \frac{25 - 16}{16} = \frac{9}{16}$.

Следовательно, $ctg A = \pm\sqrt{\frac{9}{16}} = \pm\frac{3}{4}$. Так же, как и в пункте а), будем считать угол A острым, поэтому его котангенс положителен.

Ответ: $\frac{3}{4}$ (или $0,75$).

17. Найдите sin A, если:

а) $ctg A = 2$;

б) $ctg A = \frac{1}{3}$.

Для решения этой задачи воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим синус и котангенс: $1 + \text{ctg}^2 A = \frac{1}{\text{sin}^2 A}$. Из этого тождества можно выразить $\text{sin}^2 A$: $\text{sin}^2 A = \frac{1}{1 + \text{ctg}^2 A}$. Поскольку угол A в подобных задачах обычно является углом треугольника, его синус положителен ($\text{sin} A > 0$).

а) Дано, что $\text{ctg} A = 2$.

Подставим это значение в формулу:

$\text{sin}^2 A = \frac{1}{1 + 2^2} = \frac{1}{1 + 4} = \frac{1}{5}$

Так как $\text{sin} A > 0$, извлекаем положительный квадратный корень:

$\text{sin} A = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$\text{sin} A = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{5}$

б) Дано, что $\text{ctg} A = \frac{1}{3}$.

Подставим это значение в ту же формулу:

$\text{sin}^2 A = \frac{1}{1 + (\frac{1}{3})^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{1}{\frac{9}{9} + \frac{1}{9}} = \frac{1}{\frac{10}{9}}$

При делении на дробь, мы умножаем на перевернутую дробь:

$\text{sin}^2 A = \frac{9}{10}$

Так как $\text{sin} A > 0$, извлекаем положительный квадратный корень:

$\text{sin} A = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{10}$:

$\text{sin} A = \frac{3 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{10}}{10}$

18. Чему равно произведение гипотенузы прямоугольного треугольника на:

а) синус противолежащего острого угла;

б) косинус прилежащего угла?

Для решения этой задачи воспользуемся определениями синуса и косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$.

а)

Требуется найти произведение гипотенузы на синус противолежащего острого угла. Пусть для угла $\alpha$ противолежащим катетом является катет $a$.

По определению, синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$

Из этого соотношения мы можем выразить противолежащий катет $a$ через гипотенузу $c$ и синус угла $\alpha$:

$a = c \cdot \sin(\alpha)$

Таким образом, произведение гипотенузы $c$ на синус противолежащего угла $\sin(\alpha)$ равно противолежащему катету $a$.

Ответ: противолежащему катету.

б)

Требуется найти произведение гипотенузы на косинус прилежащего угла. Для угла $\alpha$ прилежащим катетом является катет $b$.

По определению, косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(\alpha) = \frac{b}{c}$

Из этого соотношения мы можем выразить прилежащий катет $b$ через гипотенузу $c$ и косинус угла $\alpha$:

$b = c \cdot \cos(\alpha)$

Таким образом, произведение гипотенузы $c$ на косинус прилежащего угла $\cos(\alpha)$ равно прилежащему катету $b$.

Ответ: прилежащему катету.

19. Чему равно произведение катета прямоугольного треугольника на:

а) тангенс прилежащего острого угла;

б) котангенс противолежащего угла?

Для решения задачи рассмотрим прямоугольный треугольник. Обозначим его катеты как $a$ и $b$. Пусть $\alpha$ — острый угол, противолежащий катету $a$, а $\beta$ — острый угол, противолежащий катету $b$. В этом случае угол $\alpha$ является прилежащим к катету $b$, а угол $\beta$ — прилежащим к катету $a$.

Согласно определениям тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике:
Тангенс острого угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему: $\tan(\alpha) = \frac{a}{b}$ и $\tan(\beta) = \frac{b}{a}$.
Котангенс острого угла — это отношение прилежащего катета к противолежащему: $\cot(\alpha) = \frac{b}{a}$ и $\cot(\beta) = \frac{a}{b}$.

а) тангенс прилежащего острого угла
Найдем произведение катета на тангенс прилежащего к нему острого угла.
Для катета $b$ прилежащим является угол $\alpha$. Их произведение равно:
$b \cdot \tan(\alpha) = b \cdot \frac{a}{b} = a$
Результатом является катет $a$, то есть другой катет.
Для катета $a$ прилежащим является угол $\beta$. Их произведение равно:
$a \cdot \tan(\beta) = a \cdot \frac{b}{a} = b$
Результатом является катет $b$, то есть другой катет.
Следовательно, произведение катета прямоугольного треугольника на тангенс прилежащего острого угла равно другому катету.
Ответ: другому катету.

б) котангенс противолежащего угла
Найдем произведение катета на котангенс противолежащего ему угла.
Для катета $b$ противолежащим является угол $\beta$. Их произведение равно:
$b \cdot \cot(\beta) = b \cdot \frac{a}{b} = a$
Результатом является катет $a$, то есть другой катет.
Для катета $a$ противолежащим является угол $\alpha$. Их произведение равно:
$a \cdot \cot(\alpha) = a \cdot \frac{b}{a} = b$
Результатом является катет $b$, то есть другой катет.
Следовательно, произведение катета прямоугольного треугольника на котангенс противолежащего угла равно другому катету.
Ответ: другому катету.