Страница 73 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какие тригонометрические тождества непосредственно следуют из определений тригонометрических функций острого угла?

2. В чем заключается основное тригонометрическое тождество?

3. Как выражаются синус угла через его косинус и, наоборот, косинус угла через его синус?

4. Как связаны между собой тангенс и косинус острого угла?

1. Какие тригонометрические тождества непосредственно следуют из определений тригонометрических функций острого угла?
Рассмотрим прямоугольный треугольник с острым углом $\alpha$, противолежащим катетом $a$, прилежащим катетом $b$ и гипотенузой $c$. Определения тригонометрических функций выглядят так:
Синус: $\sin \alpha = \frac{a}{c}$ (отношение противолежащего катета к гипотенузе).
Косинус: $\cos \alpha = \frac{b}{c}$ (отношение прилежащего катета к гипотенузе).
Тангенс: $\tan \alpha = \frac{a}{b}$ (отношение противолежащего катета к прилежащему).
Котангенс: $\cot \alpha = \frac{b}{a}$ (отношение прилежащего катета к противолежащему).
Из этих определений можно вывести следующие тождества:
1. Связь тангенса с синусом и косинусом. Разделим определение синуса на определение косинуса: $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{a/c}{b/c} = \frac{a}{b} = \tan \alpha$.
2. Связь котангенса с синусом и косинусом. Разделим определение косинуса на определение синуса: $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{b/c}{a/c} = \frac{b}{a} = \cot \alpha$.
3. Связь тангенса и котангенса. Перемножим их определения: $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1$.
Ответ: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$.

2. В чем заключается основное тригонометрическое тождество?
Основное тригонометрическое тождество устанавливает связь между синусом и косинусом одного и того же угла. Оно гласит, что сумма квадратов синуса и косинуса угла равна единице. Это тождество является прямым следствием теоремы Пифагора.
В прямоугольном треугольнике с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ по теореме Пифагора имеем: $a^2 + b^2 = c^2$.
Используя определения синуса и косинуса острого угла $\alpha$: $\sin \alpha = \frac{a}{c}$ и $\cos \alpha = \frac{b}{c}$.
Найдем сумму их квадратов: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = (\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2}$.
Подставив $c^2$ вместо $a^2 + b^2$, получаем: $\frac{c^2}{c^2} = 1$.
Таким образом, для любого острого угла $\alpha$ выполняется равенство.
Ответ: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

3. Как выражаются синус угла через его косинус и, наоборот, косинус угла через его синус?
Эти соотношения выводятся из основного тригонометрического тождества: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
Выражение синуса через косинус:
Из тождества выразим $\sin^2 \alpha$: $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$.
Так как для острого угла ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$) значение синуса всегда положительно, мы можем извлечь арифметический квадратный корень: $\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}$.
Выражение косинуса через синус:
Аналогично, из тождества выразим $\cos^2 \alpha$: $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$.
Значение косинуса для острого угла также всегда положительно, поэтому: $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$.
Ответ: $\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}$ и $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$.

4. Как связаны между собой тангенс и косинус острого угла?
Связь между тангенсом и косинусом острого угла также выводится из основного тригонометрического тождества.
Возьмем тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и разделим обе его части на $\cos^2 \alpha$. Это можно сделать, так как для острого угла $\alpha$ его косинус не равен нулю ($\cos \alpha \neq 0$).
$\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.
Первое слагаемое представляет собой квадрат тангенса: $\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = (\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha})^2 = \tan^2 \alpha$.
Второе слагаемое равно единице: $\frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 1$.
В результате получаем искомое тождество, связывающее тангенс и косинус.
Ответ: $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.

1. Упростите выражение:

a) $1 - \sin^2 A;$

б) $1 + \sin^2 A + \cos^2 A.$

а) Для упрощения выражения $1 - \sin^2 A$ мы используем основное тригонометрическое тождество, которое гласит: $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$. Если мы вычтем $\sin^2 A$ из обеих частей этого тождества, мы получим: $\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$. Следовательно, данное выражение можно напрямую заменить на $\cos^2 A$.
Ответ: $\cos^2 A$

б) В выражении $1 + \sin^2 A + \cos^2 A$ мы можем сгруппировать последние два слагаемых: $1 + (\sin^2 A + \cos^2 A)$. Согласно основному тригонометрическому тождеству, сумма $\sin^2 A + \cos^2 A$ равна 1. Подставив это значение в наше выражение, мы получим: $1 + 1 = 2$.
Ответ: 2

2. Найдите sin A, если:

а)

$cos A = \frac{1}{2}$;

б)

$cos A = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для нахождения $sin A$, зная $cos A$, используется основное тригонометрическое тождество:

$sin^2 A + cos^2 A = 1$

Из этого тождества выразим $sin A$:

$sin^2 A = 1 - cos^2 A$

$sin A = \sqrt{1 - cos^2 A}$

Мы берем положительное значение корня, так как в контексте геометрии угол A в треугольнике является острым или прямым, а синус таких углов неотрицателен.

а)

Если $cos A = \frac{1}{2}$, то подставим это значение в формулу:

$sin A = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{4-1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

б)

Если $cos A = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то подставим это значение в формулу:

$sin A = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$sin A = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $sin A = \frac{\sqrt{2}}{2}$.