Страница 77 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

12. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, угол $A$ равен $45^\circ$, $AC = 1$. Найдите высоту $CH$.

Найдите высоту CH

Рассмотрим данный треугольник $ABC$. По условию, это прямоугольный треугольник, так как $\angle C = 90^\circ$. Также известны угол $\angle A = 45^\circ$ и длина катета $AC = 1$.

Проведем высоту $CH$ из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. По определению высоты, $CH$ перпендикулярна $AB$, следовательно, $\angle CHA = 90^\circ$.

Рассмотрим получившийся треугольник $ACH$. Он является прямоугольным. В этом треугольнике нам известны:
1. Гипотенуза $AC = 1$.
2. Угол $\angle A = 45^\circ$.
Сторона $CH$, которую необходимо найти, является катетом, противолежащим углу $A$.

Для нахождения катета, противолежащего известному углу, при известной гипотенузе, можно использовать тригонометрическую функцию синус. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
$\sin(\angle A) = \frac{CH}{AC}$

Подставим известные значения в эту формулу:
$\sin(45^\circ) = \frac{CH}{1}$

Из этого уравнения следует, что $CH = \sin(45^\circ)$.
Табличное значение синуса $45^\circ$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, длина высоты $CH$ составляет $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

13. В треугольнике ABC угол $C$ равен $90^{\circ}$, угол $A$ равен $45^{\circ}$, $AB = 1$.

Найдите высоту $CH$.

Для начала найдем третий угол треугольника ABC. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Нам даны $\angle C = 90^\circ$ и $\angle A = 45^\circ$.Следовательно, $\angle B = 180^\circ - \angle C - \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку углы при гипотенузе AB равны ($\angle A = \angle B = 45^\circ$), треугольник ABC является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны, то есть катеты $AC$ и $BC$ равны.

Высота CH, проведенная из вершины C к основанию AB (гипотенузе), в равнобедренном треугольнике является также и медианой. Это означает, что точка H делит гипотенузу AB пополам ($AH = HB$).

В любом прямоугольном треугольнике существует свойство, согласно которому медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине длины этой гипотенузы.

Так как CH является медианой к гипотенузе AB, мы можем записать формулу:$CH = \frac{1}{2} \cdot AB$

Подставляя в эту формулу известное значение длины гипотенузы $AB = 1$, получаем искомое значение высоты CH:$CH = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0,5$

Ответ: 0,5

14. В треугольнике ABC угол $C = 90^\circ$, $CH$ — высота, угол $A = 45^\circ$, $AB = 1$. Найдите $AH$.

Рассмотрим данный треугольник $ABC$. По условию, угол $C$ равен $90^\circ$, а угол $A$ равен $45^\circ$. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$, следовательно, мы можем вычислить угол $B$:

$\angle B = 180^\circ - \angle C - \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку $\angle A = \angle B = 45^\circ$, треугольник $ABC$ является равнобедренным, где катеты $AC$ и $BC$ равны, а гипотенуза $AB$ — основание.

В задаче указано, что $CH$ — это высота, опущенная на гипотенузу $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой.

Так как $CH$ является медианой, она делит основание $AB$ на два равных отрезка. Это означает, что точка $H$ является серединой отрезка $AB$.

Следовательно, длина отрезка $AH$ равна половине длины гипотенузы $AB$:

$AH = \frac{AB}{2}$.

По условию задачи $AB = 1$, поэтому:

$AH = \frac{1}{2} = 0.5$.

Ответ: 0.5

15. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ — высота, угол $A$ равен $45^\circ$, $AB = 1$. Найдите $BH$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи, он является прямоугольным, так как $\angle C = 90^\circ$. Также известно, что $\angle A = 45^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдем величину угла $B$:

$\angle B = 180^\circ - \angle C - \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку $\angle A = \angle B = 45^\circ$, треугольник $ABC$ является равнобедренным. Это означает, что его катеты равны: $AC = BC$.

Рассмотрим треугольник $BCH$. Так как $CH$ — высота, проведенная к стороне $AB$, то угол $\angle CHB$ является прямым, $\angle CHB = 90^\circ$. Треугольник $BCH$ — прямоугольный.

В треугольнике $BCH$ мы знаем два угла: $\angle B = 45^\circ$ и $\angle CHB = 90^\circ$. Найдем третий угол $\angle BCH$:

$\angle BCH = 180^\circ - \angle CHB - \angle B = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Так как в треугольнике $BCH$ два угла равны ($\angle B = \angle BCH = 45^\circ$), он также является равнобедренным, и его катеты $BH$ и $CH$ равны: $BH = CH$.

Теперь воспользуемся тригонометрическими соотношениями. В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $BC$ связан с гипотенузой $AB$ через косинус прилежащего угла $B$:

$BC = AB \cdot \cos(\angle B)$

Подставим известные значения $AB = 1$ и $\angle B = 45^\circ$:

$BC = 1 \cdot \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $BCH$. В нем катет $BH$ связан с гипотенузой $BC$ через косинус прилежащего угла $B$:

$BH = BC \cdot \cos(\angle B)$

Подставим найденное значение $BC = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и известный угол $\angle B = 45^\circ$:

$BH = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Ответ: $0.5$

16. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\sin A = \frac{3}{5}$, $AC = 4$. Найдите $AB$.

В данной задаче мы имеем прямоугольный треугольник $ABC$, так как угол $C$ равен $90^\circ$. В прямоугольном треугольнике сторона $AB$ является гипотенузой, а сторона $AC$ - катетом, прилежащим к углу $A$.
По определению, косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
$\cos A = \frac{AC}{AB}$
Из этой формулы мы можем выразить искомую сторону $AB$:
$AB = \frac{AC}{\cos A}$
Нам известен катет $AC = 4$, но неизвестен $\cos A$. Однако мы знаем, что $\sin A = \frac{3}{5}$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$, чтобы найти $\cos A$.
$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$
Подставим известное значение синуса:
$\cos^2 A = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25-9}{25} = \frac{16}{25}$
Так как угол $A$ является острым углом в прямоугольном треугольнике, его косинус положителен. Следовательно:
$\cos A = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$
Теперь мы можем найти гипотенузу $AB$:
$AB = \frac{AC}{\cos A} = \frac{4}{\frac{4}{5}} = 4 \cdot \frac{5}{4} = 5$
Ответ: 5

17. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos A = \frac{4}{5}$, $BC = 3$. Найдите $AB$.

В данной задаче нам дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Известно, что косинус угла $A$ равен $\frac{4}{5}$ и длина катета $BC$ (противолежащего углу $A$) равна 3. Нам необходимо найти длину гипотенузы $AB$.

Для решения задачи воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и определением синуса в прямоугольном треугольнике.

Сначала найдем синус угла $A$. Основное тригонометрическое тождество гласит: $sin^2 A + cos^2 A = 1$.

Выразим из этой формулы $sin^2 A$ и подставим известное значение $cos A = \frac{4}{5}$:

$sin^2 A = 1 - cos^2 A = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

Поскольку $A$ — это острый угол в прямоугольном треугольнике, его синус является положительным числом. Тогда, извлекая квадратный корень, получаем:

$sin A = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

Теперь используем определение синуса для острого угла в прямоугольном треугольнике. Синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$sin A = \frac{BC}{AB}$

Подставим известные нам значения: $sin A = \frac{3}{5}$ и $BC = 3$.

$\frac{3}{5} = \frac{3}{AB}$

Из этого равенства следует, что гипотенуза $AB$ равна 5.

Ответ: 5

18. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $tg A = \frac{3}{4}$, $AC = 4$. Найдите $AB$.

В заданном треугольнике ABC угол C равен 90°, что означает, что этот треугольник является прямоугольным. Стороны AC и BC — это катеты, а сторона AB — гипотенуза.

По определению тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике, тангенс угла A равен отношению противолежащего катета (BC) к прилежащему катету (AC).
Математически это записывается так: $tg A = \frac{BC}{AC}$.

Из условия задачи мы знаем, что $tg A = \frac{3}{4}$ и $AC = 4$. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти длину катета BC:
$\frac{3}{4} = \frac{BC}{4}$
Чтобы найти BC, умножим обе части уравнения на 4:
$BC = \frac{3}{4} \cdot 4 = 3$

Теперь, когда мы знаем длины обоих катетов ($AC = 4$ и $BC = 3$), мы можем найти длину гипотенузы AB, используя теорему Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$, где a и b — катеты, а c — гипотенуза.
В нашем случае:
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
Подставим числовые значения:
$4^2 + 3^2 = AB^2$
$16 + 9 = AB^2$
$25 = AB^2$
Извлечем квадратный корень, чтобы найти длину AB:
$AB = \sqrt{25} = 5$

Ответ: 5

19. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, угол $A$ равен $30^\circ$, $AC = 1$.

Найдите высоту $CH$.

В условии задачи дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ ($\angle C = 90^\circ$), углом $A$, равным $30^\circ$, и катетом $AC$, равным $1$. Необходимо найти длину высоты $CH$, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу $AB$.

Высота $CH$ образует с гипотенузой $AB$ прямой угол. Следовательно, треугольник $ACH$ также является прямоугольным, где $\angle CHA = 90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. В этом треугольнике нам известны:

1. Гипотенуза $AC = 1$ (так как она лежит напротив прямого угла $\angle CHA$).

2. Угол $\angle A = 30^\circ$.

Искомая высота $CH$ является катетом, противолежащим углу $A$ в треугольнике $ACH$.

Для нахождения длины противолежащего катета при известной гипотенузе и угле можно использовать определение синуса. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Запишем это для треугольника $ACH$:
$\sin(\angle A) = \frac{CH}{AC}$

Подставим известные значения:
$\sin(30^\circ) = \frac{CH}{1}$

Отсюда следует, что $CH = \sin(30^\circ)$.

Значение синуса $30^\circ$ — это известная величина, равная $\frac{1}{2}$ или $0.5$.

Таким образом, $CH = \frac{1}{2} = 0.5$.

Ответ: $0.5$

20. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90$, угол $A$ равен $30^\circ$, $BC = 1$.

Найдите высоту $CH$.

Дан прямоугольный треугольник ABC, в котором $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$ и катет $BC = 1$. Необходимо найти высоту CH.

1. Найдем второй острый угол треугольника ABC. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому угол B можно вычислить как:

$\angle B = 180^\circ - \angle C - \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

2. Высота CH, опущенная на гипотенузу AB, образует прямоугольный треугольник BCH, где $\angle CHB = 90^\circ$. В этом треугольнике сторона BC является гипотенузой, и ее длина по условию равна 1. Угол $\angle B$ равен $60^\circ$, как мы нашли в предыдущем шаге.

3. Искомая высота CH является катетом в треугольнике BCH, противолежащим углу B. Используя определение синуса в прямоугольном треугольнике, мы можем записать соотношение:

$\sin(\angle B) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CH}{BC}$

Выразим из этой формулы CH и подставим известные значения:

$CH = BC \cdot \sin(\angle B) = 1 \cdot \sin(60^\circ)$

Зная, что табличное значение синуса $60^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем окончательный результат:

$CH = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

21. В треугольнике ABC угол C равен $90^\circ$, угол A равен $30^\circ$, $AB = 1$.

Найдите высоту $CH$.

В данном нам прямоугольном треугольнике $ABC$ известны: гипотенуза $AB = 1$, угол $\angle C = 90^\circ$ и угол $\angle A = 30^\circ$. Требуется найти длину высоты $CH$, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.

Один из способов решения этой задачи — через площадь треугольника. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:
1. Как половина произведения катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$.
2. Как половина произведения основания (гипотенузы) на высоту, проведенную к нему: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$.

Приравняв эти два выражения для площади, мы получим формулу для высоты: $\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$ $AC \cdot BC = AB \cdot CH$ $CH = \frac{AC \cdot BC}{AB}$

Чтобы воспользоваться этой формулой, нам необходимо найти длины катетов $AC$ и $BC$. Сделаем это, используя определения синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике $ABC$.

Катет $BC$ противолежит углу $A = 30^\circ$, поэтому его длина равна: $BC = AB \cdot \sin(\angle A) = 1 \cdot \sin(30^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Катет $AC$ прилежит к углу $A = 30^\circ$, поэтому его длина равна: $AC = AB \cdot \cos(\angle A) = 1 \cdot \cos(30^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь мы можем подставить найденные длины катетов и известную длину гипотенузы в нашу формулу для высоты $CH$: $CH = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{1} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{4}$.

22. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ — высота, угол $A$ равен $30^\circ$, $AB = 1$. Найдите $AH$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$), $AC$ является катетом, прилежащим к углу $A$, а $AB$ — гипотенузой. По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике имеем:

$cos(\angle A) = \frac{AC}{AB}$

Отсюда мы можем найти длину катета $AC$, зная гипотенузу $AB=1$ и угол $\angle A=30^\circ$:

$AC = AB \cdot cos(\angle A) = 1 \cdot cos(30^\circ)$

Так как $cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:

$AC = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь рассмотрим треугольник $ACH$. Поскольку $CH$ является высотой, проведенной к стороне $AB$, угол $\angle CHA$ прямой и равен $90^\circ$. Следовательно, треугольник $ACH$ также является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике $ACH$ сторона $AC$ является гипотенузой, а искомый отрезок $AH$ — катетом, прилежащим к углу $A$. Снова применим определение косинуса:

$cos(\angle A) = \frac{AH}{AC}$

Выразим из этого соотношения $AH$:

$AH = AC \cdot cos(\angle A)$

Подставим известные нам значения $AC = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\angle A = 30^\circ$:

$AH = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{(\sqrt{3})^2}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$

В виде десятичной дроби результат равен $0,75$.

Ответ: 0,75.

23. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ — высота, угол $A$ равен $30^\circ$, $AB = 1$. Найдите $BH$.

1. В прямоугольном треугольнике $ABC$ сумма острых углов равна $90^\circ$. Так как по условию $ \angle C = 90^\circ $ и $ \angle A = 30^\circ $, найдем угол $B$:
$ \angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ $.

2. В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $BC$ противолежит углу $A$. Зная гипотенузу $AB = 1$, найдем катет $BC$ через синус угла $A$:
$ \sin(\angle A) = \frac{BC}{AB} $
$ BC = AB \cdot \sin(\angle A) = 1 \cdot \sin(30^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = 0.5 $.

3. Рассмотрим треугольник $CHB$. Так как $CH$ — высота, проведенная к гипотенузе $AB$, то $ \angle CHB = 90^\circ $. Следовательно, треугольник $CHB$ также является прямоугольным. В этом треугольнике $BC$ является гипотенузой, а искомый отрезок $BH$ — катетом, прилежащим к углу $B$.

4. В прямоугольном треугольнике $CHB$ найдем катет $BH$ через косинус угла $B$ и гипотенузу $BC$ :
$ \cos(\angle B) = \frac{BH}{BC} $
$ BH = BC \cdot \cos(\angle B) = 0.5 \cdot \cos(60^\circ) = 0.5 \cdot \frac{1}{2} = 0.25 $.

Ответ: 0.25

24. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ – высота, угол $A$ равен $30^\circ$, $AC = 1$. Найдите $BH$.

По условию, в треугольнике $ABC$ угол $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$, и катет $AC = 1$. $CH$ является высотой, опущенной на гипотенузу $AB$, поэтому треугольник $ACH$ также является прямоугольным ($\angle CHA = 90^\circ$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. Катет $CH$ лежит напротив угла $A$. Его длину можно найти, используя определение синуса: $CH = AC \cdot \sin(\angle A) = 1 \cdot \sin(30^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем угол $B$ в исходном треугольнике $ABC$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, а угол $C$ прямой, то сумма острых углов $A$ и $B$ равна $90^\circ$: $\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Далее рассмотрим прямоугольный треугольник $BCH$, в котором $\angle CHB = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известен угол $\angle B = 60^\circ$ и длина катета $CH = \frac{1}{2}$. Искомый отрезок $BH$ является вторым катетом этого треугольника. Чтобы найти $BH$, мы можем использовать тангенс угла $\angle BCH$. Найдем сначала этот угол: $\angle BCH = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Теперь, зная катет $CH$ и прилежащий к нему угол $\angle BCH$, мы можем найти противолежащий катет $BH$ с помощью определения тангенса: $\tan(\angle BCH) = \frac{BH}{CH}$ Выражаем отсюда $BH$: $BH = CH \cdot \tan(\angle BCH) = \frac{1}{2} \cdot \tan(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{6}$

25. В треугольнике ABC угол $C = 90^\circ$, CH — высота, угол $A = 30^\circ$, $BC = 1$. Найдите AH.

Рассмотрим данный треугольник $ABC$. Он является прямоугольным с $\angle C = 90^\circ$. По условию, $\angle A = 30^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle B = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
Катет $BC$ лежит напротив угла $A$. Используя определение синуса, найдем длину гипотенузы $AB$:
$\sin(\angle A) = \frac{BC}{AB} \implies AB = \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{1}{\sin(30^\circ)} = \frac{1}{0.5} = 2$.

Теперь рассмотрим треугольник $BCH$. Поскольку $CH$ — высота, проведенная к гипотенузе, то $\triangle BCH$ является прямоугольным с $\angle CHB = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известна гипотенуза $BC=1$ и угол $\angle B = 60^\circ$. Отрезок $BH$ является катетом, прилежащим к углу $B$. Найдем его длину с помощью косинуса:
$\cos(\angle B) = \frac{BH}{BC} \implies BH = BC \cdot \cos(\angle B) = 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = 0.5$.

Точка $H$ делит гипотенузу $AB$ на два отрезка: $AH$ и $BH$. Таким образом, $AB = AH + BH$. Мы можем найти искомый отрезок $AH$, вычтя $BH$ из $AB$:
$AH = AB - BH = 2 - 0.5 = 1.5$.

Ответ: 1.5

26. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\sin A = \frac{3}{5}$, $AC = 4$. Найдите высоту $CH$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, это прямоугольный треугольник с прямым углом $C$ ($\angle C = 90^\circ$). $CH$ — это высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе $AB$. Это означает, что $CH$ перпендикулярна $AB$, и, следовательно, треугольник $ACH$ также является прямоугольным с прямым углом $H$ ($\angle CHA = 90^\circ$).

В прямоугольном треугольнике $ACH$ гипотенузой является сторона $AC$ (так как она лежит напротив прямого угла $CHA$), а $CH$ является катетом, противолежащим углу $A$.

По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике, он равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для треугольника $ACH$ и угла $A$ это соотношение выглядит так:

$sin A = \frac{CH}{AC}$

По условию задачи нам известно, что $AC = 4$ и $sin A = \frac{3}{5}$. Выразим искомую высоту $CH$ из приведенной выше формулы:

$CH = AC \cdot sin A$

Подставим известные значения:

$CH = 4 \cdot \frac{3}{5} = \frac{12}{5}$

Преобразуем полученную дробь в десятичное число:

$CH = 2,4$

Ответ: $2,4$

27. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos A = \frac{4}{5}$, $AC = 4$, $CH$ — высота. Найдите $AH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. Так как $CH$ — высота, проведенная к стороне $AB$, то угол $CHA$ равен $90°$. В треугольнике $ACH$ сторона $AC$ является гипотенузой, а $AH$ — катетом, прилежащим к углу $A$.

По определению косинуса в прямоугольном треугольнике, косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Для треугольника $ACH$ это можно записать в виде формулы:$ \cos A = \frac{AH}{AC} $

Чтобы найти длину $AH$, выразим ее из этой формулы:$ AH = AC \cdot \cos A $

Теперь подставим известные из условия значения: $AC = 4$ и $ \cos A = \frac{4}{5} $.$ AH = 4 \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{5} = 3.2 $

Ответ: 3.2

28. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \frac{3}{5}$, $BC = 3$. $CH$ — высота. Найдите $BH$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, угол $C$ равен $90^\circ$. $CH$ — это высота, опущенная из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$. Следовательно, треугольник $CHB$ также является прямоугольным, так как $\angle CHB = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $CHB$ сторона $BC$ является гипотенузой, а сторона $BH$ — катетом, прилежащим к углу $B$.

По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике, косинус угла равен отношению длины прилежащего катета к длине гипотенузы. Для угла $B$ в треугольнике $CHB$ это можно записать так:

$\cos B = \frac{BH}{BC}$

Из условия задачи нам известны значения $\cos B$ и длины стороны $BC$:

$\cos B = \frac{3}{5}$

$BC = 3$

Подставим известные значения в формулу:

$\frac{3}{5} = \frac{BH}{3}$

Теперь выразим $BH$ из этого уравнения:

$BH = 3 \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{5}$

Для удобства можно перевести простую дробь в десятичную:

$BH = 1.8$

Ответ: $1.8$

29. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ – высота, $AB = 5$, $\cos A = 0,8$. Найдите $AH$.

Дано: треугольник $ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $CH$ — высота, $AB = 5$, $cos A = 0,8$.
Найти: $AH$.

Решение:

Способ 1: через два треугольника

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. По определению косинуса острого угла, косинус угла $A$ равен отношению прилежащего катета $AC$ к гипотенузе $AB$: $cos A = \frac{AC}{AB}$

Из этой формулы мы можем найти длину катета $AC$. Нам известны $AB = 5$ и $cos A = 0,8$: $AC = AB \cdot cos A = 5 \cdot 0,8 = 4$

2. Теперь рассмотрим треугольник $ACH$. Поскольку $CH$ — это высота, опущенная на сторону $AB$, то угол $\angle CHA$ прямой и равен $90^\circ$. Следовательно, треугольник $ACH$ также является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике $ACH$ сторона $AC$ является гипотенузой, а $AH$ — катетом, прилежащим к углу $A$. Снова воспользуемся определением косинуса для угла $A$: $cos A = \frac{AH}{AC}$

Выразим из этой формулы искомую длину $AH$: $AH = AC \cdot cos A$

Подставим уже известные нам значения $AC = 4$ и $cos A = 0,8$: $AH = 4 \cdot 0,8 = 3,2$

Способ 2: через метрические соотношения

1. В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Для катета $AC$ и его проекции $AH$ на гипотенузу $AB$ это соотношение записывается как: $AC^2 = AB \cdot AH$

2. Чтобы использовать эту формулу, нам сначала нужно найти длину катета $AC$. Как и в первом способе, находим $AC$ из треугольника $ABC$: $cos A = \frac{AC}{AB} \Rightarrow AC = AB \cdot cos A = 5 \cdot 0,8 = 4$

3. Теперь подставим значения $AC=4$ и $AB=5$ в метрическое соотношение и найдем $AH$: $4^2 = 5 \cdot AH$
$16 = 5 \cdot AH$
$AH = \frac{16}{5} = 3,2$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $3,2$

30. В треугольнике ABC угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ — высота, $AB = 5$, $\sin A = 0.6$. Найдите $BH$.

По условию задачи дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$, гипотенуза $AB = 5$ и $\sin A = 0.6$. $CH$ — это высота, опущенная на гипотенузу. Требуется найти длину отрезка $BH$.

Сначала рассмотрим большой прямоугольный треугольник $ABC$. По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике, $\sin A$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$. Мы можем использовать это для нахождения длины катета $BC$: $BC = AB \cdot \sin A = 5 \cdot 0.6 = 3$.

Теперь рассмотрим треугольник $BCH$. Поскольку $CH$ является высотой, она перпендикулярна гипотенузе $AB$, поэтому угол $\angle CHB$ равен $90^\circ$. Следовательно, треугольник $BCH$ также является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ сумма острых углов $\angle A$ и $\angle B$ равна $90^\circ$, то есть $\angle B = 90^\circ - \angle A$. В свою очередь, в прямоугольном треугольнике $BCH$ сумма острых углов $\angle B$ и $\angle BCH$ также равна $90^\circ$, откуда $\angle BCH = 90^\circ - \angle B$. Подставив в это равенство выражение для угла $B$ из треугольника $ABC$, получаем: $\angle BCH = 90^\circ - (90^\circ - \angle A) = \angle A$.

В прямоугольном треугольнике $BCH$ катет $BH$ является противолежащим углу $\angle BCH$, а сторона $BC$ — гипотенузой. По определению синуса: $\sin(\angle BCH) = \frac{BH}{BC}$. Так как мы установили, что $\angle BCH = \angle A$, мы можем записать: $\sin A = \frac{BH}{BC}$. Подставим известные нам значения: $0.6 = \frac{BH}{3}$.

Из этого уравнения находим искомую длину отрезка $BH$: $BH = 3 \cdot 0.6 = 1.8$.

Ответ: 1.8