Страница 83 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Человек, пройдя вверх по склону холма 1000 м, поднялся на 90 м над плоскостью основания холма (рис. 18.8). Найдите (в среднем) угол наклона холма в градусах. (В ответе укажите приближенное значение, выражаемое целым числом градусов.)

Рис. 18.8

Для решения этой задачи мы можем использовать модель прямоугольного треугольника, представленную на рисунке 18.8. В этом треугольнике:

- Гипотенуза AB представляет собой путь, пройденный человеком по склону холма, и ее длина равна $1000$ м.

- Катет BC представляет собой высоту, на которую поднялся человек, и его длина равна $90$ м.

- Угол A ($\angle BAC$) — это искомый угол наклона холма.

Отношение противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB) в прямоугольном треугольнике равно синусу угла A.

Запишем формулу для синуса угла A:

$\sin(A) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB}$

Подставим известные нам значения:

$\sin(A) = \frac{90}{1000} = 0.09$

Чтобы найти величину угла A в градусах, необходимо вычислить арксинус полученного значения:

$A = \arcsin(0.09)$

С помощью калькулятора находим значение угла:

$A \approx 5.1639^\circ$

Согласно условию, ответ необходимо округлить до целого числа градусов.

$5.1639^\circ \approx 5^\circ$

Ответ: 5

9. Угол подъема дороги равен $7^\circ$ (рис. 18.9). Найдите высоту, на которую поднимется пешеход, пройдя 200 м.

Рис. 18.9

Для решения этой задачи мы можем рассмотреть ситуацию как прямоугольный треугольник $ABC$, где $AB$ – это путь, пройденный пешеходом, $BC$ – высота подъема, а $\angle A$ – угол подъема дороги.

По условию задачи нам дано:
- Длина гипотенузы $AB = 200$ м.
- Величина угла $\angle A = 7^\circ$.
- Нам нужно найти длину катета $BC$, который является противолежащим углу $A$.

В прямоугольном треугольнике синус острого угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin(\angle A) = \frac{BC}{AB}$

Чтобы найти высоту $BC$, выразим ее из этой формулы:

$BC = AB \times \sin(\angle A)$

Теперь подставим известные значения:

$BC = 200 \times \sin(7^\circ)$

Используя калькулятор, найдем значение синуса 7 градусов. Оно приблизительно равно $0,1219$.

Выполним вычисление:

$BC \approx 200 \times 0,1219 = 24,38$ м.

Округлив результат до одного знака после запятой, получим итоговое значение.

Ответ: 24,4 м.

10. Найдите приближенное значение угла, под которым виден столб высотой 3 м, находящийся от наблюдателя на расстоянии 100 м (рис. 18.10). (В ответе укажите целое число градусов.)

Рис. 18.10

Для нахождения угла, под которым виден столб, рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, где катет $BC$ — это высота столба, а катет $AC$ — расстояние от наблюдателя до столба. Искомый угол — это угол при вершине $A$, обозначим его $\alpha$.

Из условия задачи известны длины катетов:
Противолежащий катет $BC = 3$ м.
Прилежащий катет $AC = 100$ м.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Запишем это в виде формулы:
$ \tan(\alpha) = \frac{BC}{AC} $

Подставим известные значения:
$ \tan(\alpha) = \frac{3}{100} = 0.03 $

Чтобы найти величину угла $\alpha$ в градусах, нужно вычислить арктангенс от полученного значения.
$ \alpha = \arctan(0.03) $

Для малых углов, выраженных в радианах, справедливо приближенное равенство $ \tan(\alpha) \approx \alpha $. Таким образом, $ \alpha \approx 0.03 $ радиан.
Переведем это значение в градусы, используя соотношение, что $ \pi $ радиан равно $180^{\circ}$:
$ \alpha \approx 0.03 \cdot \frac{180^{\circ}}{\pi} \approx 0.03 \cdot 57.296^{\circ} \approx 1.7188^{\circ} $

Согласно условию, ответ необходимо указать в виде целого числа градусов. Округлим полученный результат до ближайшего целого числа:
$ 1.7188^{\circ} \approx 2^{\circ} $

Ответ: 2

11. Самолет приближается к аэропорту A на высоте 8000 м. Пилот имеет предписание производить снижение для посадки под постоянным углом в $6^\circ$ (рис. 18.11). Найдите расстояние $AB$ от посадочной полосы до того места, над которым самолет должен начать снижение. (В ответе укажите приближенное значение, равное целому числу метров.)

Для решения данной задачи необходимо использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике. На рисунке изображена схема, которую можно представить как прямоугольный треугольник. Обозначим положение самолета в момент начала снижения как точку C, точку на земле прямо под ним — как B, а аэропорт — как A. Таким образом, мы получаем прямоугольный треугольник ABC, где угол B — прямой.

В этом треугольнике нам известны следующие величины:
• Высота полета, которая соответствует катету BC, равна 8000 м.
• Угол снижения составляет 6°. Этот угол (угол депрессии) равен углу CAB в нашем треугольнике, так как они являются накрест лежащими углами при двух параллельных прямых (горизонтальная линия полета и поверхность земли) и секущей (траектория снижения самолета).
• Искомое расстояние AB является катетом, прилежащим к углу A.

Для нахождения длины катета AB воспользуемся определением тангенса угла в прямоугольном треугольнике, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
$\tan(\angle A) = \frac{BC}{AB}$

Подставим известные значения в формулу:
$\tan(6^\circ) = \frac{8000}{AB}$

Выразим из этого уравнения искомое расстояние AB:
$AB = \frac{8000}{\tan(6^\circ)}$

Теперь вычислим числовое значение. С помощью калькулятора находим значение тангенса 6 градусов:
$\tan(6^\circ) \approx 0.105104235$

Подставляем это значение в нашу формулу для AB:
$AB \approx \frac{8000}{0.105104235} \approx 76115.34$ м

В условии задачи требуется указать приближенное значение, равное целому числу метров. Округляем полученный результат до ближайшего целого числа.
$76115.34 \approx 76115$

Ответ: 76115