Страница 90 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Найдите площадь квадрата, сторона которого равна:

а) 2 см;

б) 10 см;

в) 3 м.

Для того чтобы найти площадь квадрата, необходимо длину его стороны ($a$) возвести во вторую степень (умножить саму на себя). Формула для вычисления площади ($S$) выглядит следующим образом: $S = a^2$.

а) Сторона квадрата равна 2 см. Подставим это значение в формулу для нахождения площади:

$S = (2 \text{ см})^2 = 2 \times 2 = 4 \text{ см}^2$.

Ответ: $4 \text{ см}^2$.

б) Сторона квадрата равна 10 см. Выполним вычисление по той же формуле:

$S = (10 \text{ см})^2 = 10 \times 10 = 100 \text{ см}^2$.

Ответ: $100 \text{ см}^2$.

в) Сторона квадрата равна 3 м. Рассчитаем площадь, подставив значение стороны в формулу:

$S = (3 \text{ м})^2 = 3 \times 3 = 9 \text{ м}^2$.

Ответ: $9 \text{ м}^2$.

6. Найдите площадь квадрата, если его периметр равен 80 см.

6. Для нахождения площади квадрата необходимо сначала определить длину его стороны. Периметр квадрата ($P$) — это сумма длин всех его четырех равных сторон, который вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ — длина стороны.
По условию задачи, периметр равен 80 см. Найдем длину стороны квадрата:
$a = \frac{P}{4} = \frac{80 \text{ см}}{4} = 20 \text{ см}$.
Площадь квадрата ($S$) вычисляется как квадрат его стороны по формуле $S = a^2$.
Подставим найденное значение стороны в формулу площади:
$S = 20^2 = 400 \text{ см}^2$.

Ответ: 400 см$^2$.

7. Сторона квадрата равна 1. Какую площадь имеют части квадрата, на которые он разбивается своими диагоналями (рис. 19.9)?

Рис. 19.9

Для начала определим общую площадь квадрата. Сторона квадрата $a$ по условию равна 1. Площадь квадрата находится по формуле $S = a^2$.

Подставив известное значение стороны, получим:

$S = 1^2 = 1$.

Диагонали квадрата обладают свойством делить его на четыре равных по площади треугольника. Это следует из того, что диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Таким образом, они образуют четыре конгруэнтных (равных) равнобедренных прямоугольных треугольника.

Поскольку общая площадь квадрата равна 1 и она состоит из четырех равных частей, площадь каждой части можно найти, разделив общую площадь на 4.

Площадь одной части = $\frac{\text{Общая площадь квадрата}}{4} = \frac{1}{4}$.

Ответ: Каждая из четырех частей имеет площадь $\frac{1}{4}$.

8. Найдите площадь прямоугольника, сторона которого равна 6, а диагональ равна 10.

Пусть стороны прямоугольника равны a и b, а его диагональ равна d. По условию задачи нам даны длина одной из сторон и длина диагонали. Пусть $a = 6$ и $d = 10$.

Стороны прямоугольника и его диагональ образуют прямоугольный треугольник, в котором стороны a и b являются катетами, а диагональ d — гипотенузой. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + b^2 = d^2$

Подставим известные значения в это уравнение, чтобы найти длину второй стороны b:

$6^2 + b^2 = 10^2$

$36 + b^2 = 100$

Теперь найдем $b^2$:

$b^2 = 100 - 36$

$b^2 = 64$

Отсюда находим длину стороны b:

$b = \sqrt{64} = 8$

Итак, стороны прямоугольника равны 6 и 8.

Площадь прямоугольника S находится как произведение длин его смежных сторон:

$S = a \cdot b$

$S = 6 \cdot 8 = 48$

Ответ: 48.

9. Как изменится площадь прямоугольника, если его стороны:
а) увеличатся в 2 раза;
б) уменьшатся в 3 раза?

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ – его смежные стороны. Проанализируем, как изменится площадь при изменении длин сторон.

а) увеличатся в 2 раза

Пусть первоначальные стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Тогда его первоначальная площадь $S_1 = a \cdot b$.

Если каждую сторону увеличить в 2 раза, то новые стороны будут равны $2a$ и $2b$.

Новая площадь $S_2$ будет равна произведению новых сторон:

$S_2 = (2a) \cdot (2b) = 4 \cdot (a \cdot b)$

Сравнивая новую площадь с первоначальной, получаем:

$S_2 = 4 \cdot S_1$

Это означает, что площадь прямоугольника увеличится в 4 раза.

Ответ: увеличится в 4 раза.

б) уменьшатся в 3 раза

Пусть первоначальные стороны прямоугольника по-прежнему равны $a$ и $b$, а его площадь $S_1 = a \cdot b$.

Если каждую сторону уменьшить в 3 раза, то новые стороны будут равны $\frac{a}{3}$ и $\frac{b}{3}$.

Новая площадь $S_2$ будет равна:

$S_2 = \frac{a}{3} \cdot \frac{b}{3} = \frac{a \cdot b}{3 \cdot 3} = \frac{a \cdot b}{9}$

Сравнивая новую площадь с первоначальной, получаем:

$S_2 = \frac{S_1}{9}$

Это означает, что площадь прямоугольника уменьшится в 9 раз.

Ответ: уменьшится в 9 раз.

10. Самый высокий в стране флагшток с самым большим флагом республики развевается на площади государственных символов в Астане. На сегодня Государственный флаг занимает 4 место в мире по величине и возвышается над городом на 111 м, что позволяет видеть его из любой точки Астаны. Его длина 30 м, а ширина составляет $\frac{1}{2}$ его длины. Сколько квадратных метров ткани понадобится для шитья этого флага?

Для решения задачи необходимо найти площадь флага. Флаг имеет прямоугольную форму, поэтому его площадь ($S$) вычисляется как произведение длины ($a$) на ширину ($b$). Информация о высоте флагштока (111 м) является избыточной и для расчетов не требуется.

1. Найдем ширину флага. По условию, длина флага составляет 30 м, а его ширина равна половине длины.

Ширина $b = 30 \text{ м} \times \frac{1}{2} = 15 \text{ м}$.

2. Теперь, зная длину и ширину, вычислим площадь флага.

$S = a \times b = 30 \text{ м} \times 15 \text{ м} = 450 \text{ м}^2$.

Таким образом, для пошива флага понадобится 450 квадратных метров ткани.

Ответ: 450 м$^2$.

1. Найдите площадь квадрата по его диагонали $a$.

11. Для того чтобы найти площадь квадрата, зная длину его диагонали $a$, можно воспользоваться несколькими способами.

Способ 1: Через теорему Пифагора

Пусть сторона квадрата равна $s$. Диагональ делит квадрат на два одинаковых прямоугольных треугольника. В каждом из этих треугольников катеты равны стороне квадрата $s$, а гипотенуза равна диагонали $a$.

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$s^2 + s^2 = a^2$

Сложив квадраты сторон, получим:

$2s^2 = a^2$

Площадь квадрата ($S$) вычисляется как квадрат его стороны: $S = s^2$. Из предыдущего уравнения мы можем выразить $s^2$:

$s^2 = \frac{a^2}{2}$

Следовательно, площадь квадрата равна:

$S = \frac{a^2}{2}$

Способ 2: Через формулу площади ромба

Квадрат является частным случаем ромба, у которого диагонали равны. Площадь ромба можно вычислить по формуле, использующей длины его диагоналей ($d_1$ и $d_2$):

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Так как в квадрате обе диагонали равны $a$, то есть $d_1 = d_2 = a$, подставляем это значение в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{a^2}{2}$

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $S = \frac{a^2}{2}$

12. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами 8 м и 18 м.

Для того чтобы найти сторону квадрата, сначала необходимо вычислить площадь прямоугольника. Площадь прямоугольника ($S_{прям}$) равна произведению его сторон.

Стороны прямоугольника по условию равны 8 м и 18 м.

$S_{прям} = 8 \text{ м} \cdot 18 \text{ м} = 144 \text{ м}^2$.

В условии сказано, что площадь квадрата ($S_{кв}$) равна площади прямоугольника. Следовательно:

$S_{кв} = S_{прям} = 144 \text{ м}^2$.

Площадь квадрата также вычисляется по формуле $S_{кв} = a^2$, где $a$ – это сторона квадрата. Чтобы найти сторону квадрата, нужно извлечь квадратный корень из его площади.

$a = \sqrt{S_{кв}} = \sqrt{144 \text{ м}^2} = 12 \text{ м}$.

Ответ: 12 м.

13. Найдите площадь квадрата, изображенного на рисунке 19.10 (стороны квадратных клеток равны 1).

Рис. 19.10

Для нахождения площади квадрата, изображенного на клетчатой бумаге, можно использовать несколько способов.

Способ 1: Через диагонали

Квадрат является частным случаем ромба, а площадь ромба можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — длины его диагоналей. На рисунке видно, что диагонали квадрата лежат на линиях сетки. Длина каждой диагонали равна 4 клеткам. Поскольку по условию сторона одной клетки равна 1, то $d_1 = 4$ и $d_2 = 4$.

Подставим эти значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = \frac{16}{2} = 8$

Ответ: 8

Способ 2: По теореме Пифагора

Площадь квадрата равна квадрату его стороны ($S = a^2$). Найдем длину стороны $a$. Каждая сторона квадрата является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого можно построить по линиям сетки. Длины катетов такого треугольника равны 2. По теореме Пифагора найдем квадрат гипотенузы (который и будет являться площадью нашего квадрата):

$a^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$

Таким образом, площадь квадрата $S = a^2$ равна 8.

Ответ: 8

Способ 3: Метод вычитания

Можно достроить фигуру до большего квадрата, стороны которого будут параллельны линиям сетки. Этот большой квадрат будет иметь размер 4x4 клетки, и его площадь составит $S_{большого} = 4 \cdot 4 = 16$. Исходный квадрат находится внутри большого, а по углам остаются четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Катеты каждого такого треугольника равны 2. Площадь одного треугольника равна $S_{треуг.} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$.

Общая площадь четырех треугольников равна $4 \cdot 2 = 8$.

Чтобы найти площадь искомого квадрата, вычтем из площади большого квадрата суммарную площадь четырех треугольников:

$S = S_{большого} - 4 \cdot S_{треуг.} = 16 - 8 = 8$

Ответ: 8

14. Найдите площадь прямоугольника, изображенного на рисунке 19.11 (стороны квадратных клеток равны 1).

Рис. 19.11

Для нахождения площади фигуры на клетчатой бумаге, когда её вершины находятся в узлах сетки, удобно использовать метод «достраивания до прямоугольника» или формулу Пика. Рассмотрим метод достраивания.

1. Мысленно достроим вокруг данного наклонного прямоугольника большой прямоугольник, стороны которого параллельны линиям сетки. По рисунку видно, что вершины этого большого прямоугольника будут иметь координаты, например, (0, 1), (4, 1), (4, 4) и (0, 4), если принять левый нижний угол сетки за (0, 0). Ширина этого прямоугольника составит $4 - 0 = 4$ клетки, а высота $4 - 1 = 3$ клетки.Площадь большого прямоугольника ($S_{большой}$) равна произведению его сторон:$S_{большой} = 4 \times 3 = 12$ квадратных единиц.

2. Искомая площадь нашего прямоугольника может быть найдена как разность площади большого прямоугольника и суммарной площади четырех прямоугольных треугольников, которые остались «по углам».Найдем площади этих треугольников. Длины их катетов легко определить по клеткам:

• Площадь левого нижнего треугольника ($S_1$) с катетами 1 и 2:$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$

• Площадь правого нижнего треугольника ($S_2$) с катетами 3 и 1:$S_2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = 1,5$

• Площадь правого верхнего треугольника ($S_3$) с катетами 1 и 2:$S_3 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$

• Площадь левого верхнего треугольника ($S_4$) с катетами 3 и 1:$S_4 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = 1,5$

3. Теперь найдем суммарную площадь этих четырех треугольников ($S_{треуг}$):$S_{треуг} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 1 + 1,5 + 1 + 1,5 = 5$

4. Вычтем из площади большого прямоугольника суммарную площадь треугольников, чтобы найти площадь искомого прямоугольника ($S$):$S = S_{большой} - S_{треуг} = 12 - 5 = 7$

Таким образом, площадь прямоугольника равна 7 квадратных единиц.

Ответ: 7

15. Площадь квадрата равна 1. Найдите площадь квадрата, вершинами которого являются середины сторон данного квадрата (рис. 19.12).

Рис. 19.12

Пусть сторона исходного квадрата равна $a$. Его площадь $S$ вычисляется по формуле $S = a^2$. По условию задачи, площадь квадрата равна 1, следовательно, $a^2 = 1$. Отсюда находим длину стороны: $a = \sqrt{1} = 1$.

Новый квадрат построен на серединах сторон исходного квадрата. Его сторона, обозначим ее $b$, является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного в углу исходного квадрата. Катеты этого треугольника равны половине стороны исходного квадрата, то есть каждый катет равен $\frac{a}{2} = \frac{1}{2}$.

Для нахождения квадрата стороны $b$ воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $b^2 = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Площадь нового квадрата, $S_{новый}$, равна квадрату его стороны, то есть $b^2$. Следовательно, искомая площадь равна $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.