Страница 94 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Найдите площадь ромба, если его стороны равны 6 см, а один из углов равен:

а) $120^\circ$;

б) $135^\circ$;

в) $150^\circ$.

Площадь ромба можно вычислить по формуле, используя длину стороны и угол между сторонами: $S = a^2 \sin(\alpha)$, где $a$ — это длина стороны ромба, а $\alpha$ — один из его углов. В данном случае, сторона ромба $a = 6$ см.

а)

Найдем площадь ромба, если один из его углов равен $120^\circ$.

Используем формулу площади: $S = a^2 \sin(\alpha)$.

Подставим известные значения: $a = 6$ см и $\alpha = 120^\circ$.

$S = 6^2 \cdot \sin(120^\circ)$

Значение синуса $120^\circ$ равно значению синуса $60^\circ$: $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Вычисляем площадь:

$S = 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}$ см².

Ответ: $18\sqrt{3}$ см².

б)

Найдем площадь ромба, если один из его углов равен $135^\circ$.

Используем ту же формулу: $S = a^2 \sin(\alpha)$.

Подставим известные значения: $a = 6$ см и $\alpha = 135^\circ$.

$S = 6^2 \cdot \sin(135^\circ)$

Значение синуса $135^\circ$ равно значению синуса $45^\circ$: $\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Вычисляем площадь:

$S = 36 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 18\sqrt{2}$ см².

Ответ: $18\sqrt{2}$ см².

в)

Найдем площадь ромба, если один из его углов равен $150^\circ$.

Используем формулу площади: $S = a^2 \sin(\alpha)$.

Подставим известные значения: $a = 6$ см и $\alpha = 150^\circ$.

$S = 6^2 \cdot \sin(150^\circ)$

Значение синуса $150^\circ$ равно значению синуса $30^\circ$: $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Вычисляем площадь:

$S = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18$ см².

Ответ: $18$ см².

5. На рисунке 20.4 укажите равновеликие параллелограммы.

Для решения задачи необходимо найти площади всех параллелограммов, изображенных на рисунке, и сравнить их. За единицу измерения площади примем площадь одной клетки сетки (кв. ед.).

Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле $S = a \cdot h$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию. Этот способ удобен, когда основание и высота параллельны линиям сетки.

Если стороны параллелограмма не параллельны линиям сетки, удобно использовать формулу Пика: $S = I + \frac{B}{2} - 1$, где $I$ — количество узлов сетки внутри многоугольника, а $B$ — количество узлов сетки на его границе.

а)

Фигура а) — это прямоугольник (частный случай параллелограмма). Его основание $a = 1$ клетка, высота $h = 6$ клеток.Площадь: $S_а = a \cdot h = 1 \cdot 6 = 6$ кв. ед.

Ответ: 6 кв. ед.

б)

Стороны параллелограмма б) не параллельны линиям сетки. Воспользуемся формулой Пика.Количество узлов на границе: $B = 4$ (только вершины).Количество узлов внутри: $I = 4$.Площадь: $S_б = I + \frac{B}{2} - 1 = 4 + \frac{4}{2} - 1 = 4 + 2 - 1 = 5$ кв. ед.

Ответ: 5 кв. ед.

в)

У параллелограмма в) можно выбрать горизонтальное основание длиной $a = 4$ клетки. Высота, проведенная к этому основанию, равна $h = 2$ клетки.Площадь: $S_в = a \cdot h = 4 \cdot 2 = 8$ кв. ед.

Ответ: 8 кв. ед.

г)

Основание параллелограмма г) равно $a = 4$ клетки, высота $h = 1$ клетка.Площадь: $S_г = a \cdot h = 4 \cdot 1 = 4$ кв. ед.

Ответ: 4 кв. ед.

д)

Стороны параллелограмма д) не параллельны линиям сетки. Применим формулу Пика.Количество узлов на границе: $B = 4$ (только вершины).Количество узлов внутри: $I = 4$.Площадь: $S_д = I + \frac{B}{2} - 1 = 4 + \frac{4}{2} - 1 = 4 + 2 - 1 = 5$ кв. ед.

Ответ: 5 кв. ед.

е)

Фигура е) — прямоугольник с основанием $a = 2$ клетки и высотой $h = 3$ клетки.Площадь: $S_е = a \cdot h = 2 \cdot 3 = 6$ кв. ед.

Ответ: 6 кв. ед.

ж)

Стороны параллелограмма ж) не параллельны линиям сетки. Используем формулу Пика.Количество узлов на границе: $B = 4$ (только вершины).Количество узлов внутри: $I = 7$.Площадь: $S_ж = I + \frac{B}{2} - 1 = 7 + \frac{4}{2} - 1 = 7 + 2 - 1 = 8$ кв. ед.

Ответ: 8 кв. ед.

з)

Фигура з) — прямоугольник с основанием $a = 4$ клетки и высотой $h = 2$ клетки.Площадь: $S_з = a \cdot h = 4 \cdot 2 = 8$ кв. ед.

Ответ: 8 кв. ед.

и)

У параллелограмма и) горизонтальное основание $a = 6$ клеток, а высота $h = 2$ клетки.Площадь: $S_и = a \cdot h = 6 \cdot 2 = 12$ кв. ед.

Ответ: 12 кв. ед.

Сравнив полученные площади, мы можем указать равновеликие параллелограммы, то есть те, у которых площади равны.
Равновеликими являются следующие группы фигур:
1. Параллелограммы б) и д), их площадь равна 5 кв. ед.
2. Параллелограммы а) и е), их площадь равна 6 кв. ед.
3. Параллелограммы в), ж) и з), их площадь равна 8 кв. ед.

6. Найдите площади параллелограммов, изображенных на рисунке 20.5. Стороны квадратных клеток равны 1.

а)

б)

Рис. 20.5

а)

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = a \cdot h$, где $a$ – длина основания, а $h$ – высота, перпендикулярная этому основанию. Выберем в качестве основания нижнюю сторону параллелограмма. Из рисунка видно, что ее длина $a$ равна 2 клеткам, то есть $a=2$. Высота $h$ – это перпендикулярное расстояние между основанием и противоположной стороной. По сетке видно, что высота равна 3 клеткам, то есть $h=3$. Тогда площадь параллелограмма составляет: $S = a \cdot h = 2 \cdot 3 = 6$ квадратных единиц.

Ответ: 6.

б)

Для нахождения площади этого параллелограмма применим метод достроения до прямоугольника. Опишем вокруг фигуры прямоугольник по линиям сетки. Этот прямоугольник будет иметь размеры 4 на 4 клетки. Его площадь $S_{прям} = 4 \cdot 4 = 16$ квадратных единиц.Площадь параллелограмма равна площади прямоугольника за вычетом площадей четырех прямоугольных треугольников, расположенных в углах.- Два треугольника (нижний левый и верхний правый) имеют катеты длиной 1 и 3. Площадь каждого из них равна $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 = 1,5$.- Два других треугольника (верхний левый и нижний правый) имеют катеты длиной 3 и 1. Площадь каждого из них равна $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = 1,5$.Суммарная площадь всех четырех треугольников: $S_{треуг} = 2 \cdot 1,5 + 2 \cdot 1,5 = 6$ квадратных единиц.Следовательно, искомая площадь параллелограмма равна: $S = S_{прям} - S_{треуг} = 16 - 6 = 10$ квадратных единиц.

Ответ: 10.

7. Площадь параллелограмма равна $40 \text{ см}^2$, стороны — $5 \text{ см}$ и $10 \text{ см}$. Найдите высоты этого параллелограмма.

Площадь параллелограмма ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot h_a$, где $a$ — это длина стороны, а $h_a$ — длина высоты, проведенной к этой стороне.

В задаче даны площадь $S = 40 \text{ см}^2$ и две смежные стороны $a_1 = 5 \text{ см}$ и $a_2 = 10 \text{ см}$. У параллелограмма две высоты, каждая из которых проведена к соответствующей стороне. Найдем обе высоты.

Нахождение высоты, проведенной к стороне 5 см

Обозначим эту высоту как $h_1$. Используем формулу площади для стороны $a_1 = 5 \text{ см}$:

$S = a_1 \cdot h_1$

Подставим известные значения:

$40 = 5 \cdot h_1$

Теперь выразим высоту $h_1$:

$h_1 = \frac{40}{5} = 8 \text{ см}$.

Нахождение высоты, проведенной к стороне 10 см

Обозначим эту высоту как $h_2$. Используем формулу площади для стороны $a_2 = 10 \text{ см}$:

$S = a_2 \cdot h_2$

Подставим известные значения:

$40 = 10 \cdot h_2$

Теперь выразим высоту $h_2$:

$h_2 = \frac{40}{10} = 4 \text{ см}$.

Таким образом, высоты данного параллелограмма равны 8 см и 4 см.

Ответ: 8 см и 4 см.

8. Прямоугольник и параллелограмм имеют соответственно равные стороны. Какая из этих фигур имеет большую площадь? Почему?

Для решения этой задачи сравним формулы площадей прямоугольника и параллелограмма при условии, что их соответствующие стороны равны.

Пусть стороны обеих фигур равны $a$ и $b$.

Площадь прямоугольника ($S_{пр}$) вычисляется как произведение длин его смежных сторон:

$S_{пр} = a \times b$

Площадь параллелограмма ($S_{пар}$) можно вычислить по формуле: произведение длин его смежных сторон на синус угла $\alpha$ между ними:

$S_{пар} = a \times b \times \sin(\alpha)$

Теперь, основываясь на этих формулах, ответим на вопросы задачи.

Какая из этих фигур имеет большую площадь?

Большую площадь при равных сторонах всегда будет иметь прямоугольник. Равенство площадей достигается только в том случае, если параллелограмм сам является прямоугольником.

Почему?

Существует два основных объяснения этому факту.

1. Сравнение через угол между сторонами. Прямоугольник является частным случаем параллелограмма, у которого все углы прямые, то есть $\alpha = 90^{\circ}$. Синус прямого угла равен единице: $\sin(90^{\circ}) = 1$. Это максимально возможное значение для синуса. У любого параллелограмма, который не является прямоугольником, угол $\alpha$ между сторонами будет острым или тупым, но не прямым. Для любого такого угла ($0^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}, \alpha \neq 90^{\circ}$) значение синуса будет строго меньше единицы: $\sin(\alpha) < 1$.
Следовательно, при сравнении площадей $S_{пр} = a \times b$ и $S_{пар} = a \times b \times \sin(\alpha)$ очевидно, что площадь прямоугольника больше, так как она вычисляется с максимальным коэффициентом (1), в то время как площадь параллелограмма вычисляется с коэффициентом $\sin(\alpha) < 1$.

2. Сравнение через высоту. Площадь обеих фигур можно найти по формуле "основание умножить на высоту". Выберем сторону $a$ в качестве основания. Для прямоугольника высотой, проведенной к этому основанию, будет служить смежная сторона $b$. Таким образом, $S_{пр} = a \times b$. Для параллелограмма высота $h$, проведенная к основанию $a$, будет являться катетом в прямоугольном треугольнике, гипотенузой которого является сторона $b$. В любом прямоугольном треугольнике катет всегда короче гипотенузы, следовательно, $h < b$. Равенство $h=b$ возможно только тогда, когда угол между сторонами $a$ и $b$ прямой, то есть в прямоугольнике.
Поскольку основания фигур равны ($a$), а высота прямоугольника ($b$) больше высоты параллелограмма ($h$), то и площадь прямоугольника больше: $a \times b > a \times h$.

Ответ: Большую площадь имеет прямоугольник. Это объясняется тем, что при фиксированных длинах сторон площадь параллелограмма ($S = a \times b \times \sin(\alpha)$) является максимальной, когда угол между ними прямой ($\alpha = 90^{\circ}$), так как функция $\sin(\alpha)$ достигает своего максимума, равного 1, именно при этом значении угла. Любое отклонение угла от 90° приводит к уменьшению площади.

9. Прямоугольник и параллелограмм имеют соответственно равные стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Тогда его площадь $S_{пр}$ вычисляется по формуле:

$S_{пр} = a \cdot b$

По условию, стороны параллелограмма также равны $a$ и $b$. Площадь параллелограмма $S_{пар}$ с соседними сторонами $a$ и $b$ и углом $\alpha$ между ними находится по формуле:

$S_{пар} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

В задаче сказано, что площадь параллелограмма равна половине площади прямоугольника:

$S_{пар} = \frac{1}{2} S_{пр}$

Подставим формулы для площадей в это соотношение:

$a \cdot b \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} (a \cdot b)$

Поскольку $a$ и $b$ — это длины сторон, они не равны нулю, поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $a \cdot b$:

$\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$

Угол в параллелограмме находится в диапазоне от 0° до 180°. Уравнение $\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$ имеет два решения в этом диапазоне: $\alpha = 30^\circ$ и $\alpha = 150^\circ$. Так как по условию требуется найти острый угол, то есть угол меньше 90°, мы выбираем меньшее значение.

Ответ: $30^\circ$.

10. Соседние стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Какой угол должен быть между ними, чтобы площадь параллелограмма была наибольшей?

Площадь параллелограмма (обозначим её как S) с соседними сторонами a и b и углом $\alpha$ между ними вычисляется по формуле:

$S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

В этой формуле значения длин сторон a и b являются заданными постоянными величинами. Следовательно, площадь S является функцией, зависящей от угла $\alpha$. Нам нужно найти такое значение угла $\alpha$, при котором площадь S будет максимальной.

Поскольку a и b — положительные константы, значение площади S будет максимальным тогда, когда будет максимальным значение $\sin(\alpha)$.

Угол в параллелограмме может принимать значения в диапазоне от $0°$ до $180°$. В этом диапазоне функция синуса $\sin(\alpha)$ достигает своего наибольшего значения, равного 1, при угле $\alpha = 90°$.

Таким образом, для получения наибольшей площади угол между сторонами a и b должен быть прямым. Параллелограмм с прямыми углами является прямоугольником, и его площадь будет максимальной и равной $S_{max} = a \cdot b \cdot \sin(90°) = a \cdot b \cdot 1 = a \cdot b$.

Ответ: 90°.

11. Квадрат и ромб имеют одинаковые периметры. Сравните их площади.

Пусть периметр квадрата и ромба равен $P$.

Сторона квадрата, $a_{кв}$, вычисляется как $a_{кв} = P/4$.
Сторона ромба, $a_{р}$, также вычисляется как $a_{р} = P/4$.
Следовательно, стороны квадрата и ромба равны: $a_{кв} = a_{р}$. Обозначим эту сторону как $a$.

Теперь сравним их площади.

Площадь квадрата
Площадь квадрата со стороной $a$ равна $S_{кв} = a^2$.

Площадь ромба
Площадь ромба можно вычислить по формуле: произведение двух сторон на синус угла между ними. Пусть $\alpha$ — один из углов ромба. Тогда его площадь равна $S_{р} = a \cdot a \cdot \sin(\alpha) = a^2 \sin(\alpha)$.

Сравнение площадей
Сравниваем две формулы:
$S_{кв} = a^2$
$S_{р} = a^2 \sin(\alpha)$

Угол $\alpha$ в ромбе может быть любым в интервале от $0^\circ$ до $180^\circ$. Значение синуса для любого угла из этого интервала находится в диапазоне $0 < \sin(\alpha) \leq 1$.

Максимальное значение $\sin(\alpha) = 1$ достигается только тогда, когда угол $\alpha = 90^\circ$. Ромб, у которого углы прямые, является квадратом. В этом случае площади ромба и квадрата равны.

Если ромб не является квадратом, то его углы не равны $90^\circ$, и, следовательно, $\sin(\alpha) < 1$. В этом случае площадь ромба будет строго меньше площади квадрата:
$S_{р} = a^2 \sin(\alpha) < a^2 = S_{кв}$

Таким образом, при одинаковом периметре площадь квадрата всегда больше или равна площади ромба. Равенство достигается только тогда, когда ромб сам является квадратом.
Ответ: Площадь квадрата больше площади любого ромба (не являющегося квадратом) с таким же периметром. Если ромб является квадратом, их площади равны. В общем случае, площадь квадрата не меньше площади ромба.