Номер 8, страница 94 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Прямоугольник и параллелограмм имеют соответственно равные стороны. Какая из этих фигур имеет большую площадь? Почему?

Для решения этой задачи сравним формулы площадей прямоугольника и параллелограмма при условии, что их соответствующие стороны равны.

Пусть стороны обеих фигур равны $a$ и $b$.

Площадь прямоугольника ($S_{пр}$) вычисляется как произведение длин его смежных сторон:

$S_{пр} = a \times b$

Площадь параллелограмма ($S_{пар}$) можно вычислить по формуле: произведение длин его смежных сторон на синус угла $\alpha$ между ними:

$S_{пар} = a \times b \times \sin(\alpha)$

Теперь, основываясь на этих формулах, ответим на вопросы задачи.

Какая из этих фигур имеет большую площадь?

Большую площадь при равных сторонах всегда будет иметь прямоугольник. Равенство площадей достигается только в том случае, если параллелограмм сам является прямоугольником.

Почему?

Существует два основных объяснения этому факту.

1. Сравнение через угол между сторонами. Прямоугольник является частным случаем параллелограмма, у которого все углы прямые, то есть $\alpha = 90^{\circ}$. Синус прямого угла равен единице: $\sin(90^{\circ}) = 1$. Это максимально возможное значение для синуса. У любого параллелограмма, который не является прямоугольником, угол $\alpha$ между сторонами будет острым или тупым, но не прямым. Для любого такого угла ($0^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}, \alpha \neq 90^{\circ}$) значение синуса будет строго меньше единицы: $\sin(\alpha) < 1$.
Следовательно, при сравнении площадей $S_{пр} = a \times b$ и $S_{пар} = a \times b \times \sin(\alpha)$ очевидно, что площадь прямоугольника больше, так как она вычисляется с максимальным коэффициентом (1), в то время как площадь параллелограмма вычисляется с коэффициентом $\sin(\alpha) < 1$.

2. Сравнение через высоту. Площадь обеих фигур можно найти по формуле "основание умножить на высоту". Выберем сторону $a$ в качестве основания. Для прямоугольника высотой, проведенной к этому основанию, будет служить смежная сторона $b$. Таким образом, $S_{пр} = a \times b$. Для параллелограмма высота $h$, проведенная к основанию $a$, будет являться катетом в прямоугольном треугольнике, гипотенузой которого является сторона $b$. В любом прямоугольном треугольнике катет всегда короче гипотенузы, следовательно, $h < b$. Равенство $h=b$ возможно только тогда, когда угол между сторонами $a$ и $b$ прямой, то есть в прямоугольнике.
Поскольку основания фигур равны ($a$), а высота прямоугольника ($b$) больше высоты параллелограмма ($h$), то и площадь прямоугольника больше: $a \times b > a \times h$.

Ответ: Большую площадь имеет прямоугольник. Это объясняется тем, что при фиксированных длинах сторон площадь параллелограмма ($S = a \times b \times \sin(\alpha)$) является максимальной, когда угол между ними прямой ($\alpha = 90^{\circ}$), так как функция $\sin(\alpha)$ достигает своего максимума, равного 1, именно при этом значении угла. Любое отклонение угла от 90° приводит к уменьшению площади.