Номер 11, страница 94 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Квадрат и ромб имеют одинаковые периметры. Сравните их площади.

Пусть периметр квадрата и ромба равен $P$.

Сторона квадрата, $a_{кв}$, вычисляется как $a_{кв} = P/4$.
Сторона ромба, $a_{р}$, также вычисляется как $a_{р} = P/4$.
Следовательно, стороны квадрата и ромба равны: $a_{кв} = a_{р}$. Обозначим эту сторону как $a$.

Теперь сравним их площади.

Площадь квадрата
Площадь квадрата со стороной $a$ равна $S_{кв} = a^2$.

Площадь ромба
Площадь ромба можно вычислить по формуле: произведение двух сторон на синус угла между ними. Пусть $\alpha$ — один из углов ромба. Тогда его площадь равна $S_{р} = a \cdot a \cdot \sin(\alpha) = a^2 \sin(\alpha)$.

Сравнение площадей
Сравниваем две формулы:
$S_{кв} = a^2$
$S_{р} = a^2 \sin(\alpha)$

Угол $\alpha$ в ромбе может быть любым в интервале от $0^\circ$ до $180^\circ$. Значение синуса для любого угла из этого интервала находится в диапазоне $0 < \sin(\alpha) \leq 1$.

Максимальное значение $\sin(\alpha) = 1$ достигается только тогда, когда угол $\alpha = 90^\circ$. Ромб, у которого углы прямые, является квадратом. В этом случае площади ромба и квадрата равны.

Если ромб не является квадратом, то его углы не равны $90^\circ$, и, следовательно, $\sin(\alpha) < 1$. В этом случае площадь ромба будет строго меньше площади квадрата:
$S_{р} = a^2 \sin(\alpha) < a^2 = S_{кв}$

Таким образом, при одинаковом периметре площадь квадрата всегда больше или равна площади ромба. Равенство достигается только тогда, когда ромб сам является квадратом.
Ответ: Площадь квадрата больше площади любого ромба (не являющегося квадратом) с таким же периметром. Если ромб является квадратом, их площади равны. В общем случае, площадь квадрата не меньше площади ромба.