Номер 16, страница 95 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Попробуйте найти формулу, выражающую площадь треугольника через его сторону и высоту, проведенную к этой стороне.

Для того чтобы вывести формулу площади треугольника, воспользуемся методом достроения фигуры до параллелограмма, площадь которого нам известна. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Пусть длина его стороны $AC$ равна $a$. Проведём из вершины $B$ на сторону $AC$ высоту $BH$, длина которой равна $h$.

Теперь достроим наш треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABDC$. Для этого через вершину $B$ проведём прямую, параллельную стороне $AC$, а через вершину $C$ — прямую, параллельную стороне $AB$. Точку пересечения этих прямых обозначим как $D$.

Площадь полученного параллелограмма $ABDC$ вычисляется по формуле произведения основания на высоту. В нашем случае основание — это сторона $AC$, длина которой $a$, а высота — это перпендикуляр $BH$, длина которого $h$. Таким образом, площадь параллелограмма равна:

$S_{ABDC} = a \cdot h$

Параллелограмм $ABDC$ состоит из двух равных треугольников: $ABC$ и $DCB$ (они равны по трём сторонам: $BC$ — общая, $AB = DC$ и $AC = DB$ как противоположные стороны параллелограмма). Следовательно, площадь треугольника $ABC$ ровно в два раза меньше площади параллелограмма $ABDC$.

Таким образом, мы можем выразить площадь треугольника $S$ через площадь параллелограмма:

$S = \frac{1}{2} S_{ABDC} = \frac{1}{2} a \cdot h$

Мы получили формулу, выражающую площадь треугольника через его сторону и высоту, проведенную к этой стороне.

Ответ: Площадь треугольника ($S$) выражается через его сторону ($a$) и высоту ($h$), проведенную к этой стороне, следующей формулой: $S = \frac{1}{2} a \cdot h$.