Номер 6, страница 98 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 6 см и 8 см, а угол между ними равен:

а) 120°;

б) 135°;

в) 150°.

Для нахождения площади треугольника используется формула, связывающая две стороны и синус угла между ними:

$S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$

где $a$ и $b$ — это длины двух сторон треугольника, а $\gamma$ — угол, заключенный между этими сторонами.

В нашей задаче даны стороны $a = 6$ см и $b = 8$ см. Рассмотрим каждый случай для заданного угла.

а) Угол между сторонами равен $120^\circ$.
Подставляем значения в формулу:$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(120^\circ)$.
Для вычисления синуса воспользуемся формулой приведения: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$.$\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Теперь вычисляем площадь:$S = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$ см$^2$.
Ответ: $12\sqrt{3}$ см$^2$.

б) Угол между сторонами равен $135^\circ$.
Подставляем значения в формулу:$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(135^\circ)$.
Вычисляем синус: $\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Теперь вычисляем площадь:$S = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 24 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2}$ см$^2$.
Ответ: $12\sqrt{2}$ см$^2$.

в) Угол между сторонами равен $150^\circ$.
Подставляем значения в формулу:$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(150^\circ)$.
Вычисляем синус: $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
Теперь вычисляем площадь:$S = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot \frac{1}{2} = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$ см$^2$.
Ответ: $12$ см$^2$.