Номер 8, страница 98 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Как изменится площадь треугольника, если:

а) не изменяя его сторону, увеличить опущенную на нее высоту в два раза;

б) не изменяя его высоты, уменьшить сторону, на которую она опущена, в три раза;

в) одну сторону увеличить в четыре раза, а высоту, опущенную на нее, уменьшить в восемь раз?

Для решения этой задачи мы будем использовать основную формулу для вычисления площади треугольника: $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ – это длина стороны треугольника (основание), а $h$ – это длина высоты, опущенной на эту сторону.

Обозначим исходную площадь как $S_1$, исходную сторону как $a_1$, а исходную высоту как $h_1$. Таким образом, $S_1 = \frac{1}{2}a_1h_1$.

а) В этом случае сторона $a_1$ остается неизменной ($a_2 = a_1$), а высота $h_1$ увеличивается в два раза ($h_2 = 2h_1$). Найдем новую площадь $S_2$:
$S_2 = \frac{1}{2}a_2h_2 = \frac{1}{2}a_1(2h_1) = 2 \cdot (\frac{1}{2}a_1h_1) = 2S_1$.
Таким образом, площадь треугольника увеличится в 2 раза.
Ответ: площадь увеличится в 2 раза.

б) Здесь высота $h_1$ остается неизменной ($h_2 = h_1$), а сторона $a_1$ уменьшается в три раза ($a_2 = \frac{a_1}{3}$). Вычислим новую площадь $S_2$:
$S_2 = \frac{1}{2}a_2h_2 = \frac{1}{2}(\frac{a_1}{3})h_1 = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2}a_1h_1) = \frac{S_1}{3}$.
Следовательно, площадь треугольника уменьшится в 3 раза.
Ответ: площадь уменьшится в 3 раза.

в) В данном случае сторону $a_1$ увеличивают в четыре раза ($a_2 = 4a_1$), а высоту $h_1$ уменьшают в восемь раз ($h_2 = \frac{h_1}{8}$). Рассчитаем, как изменится площадь:
$S_2 = \frac{1}{2}a_2h_2 = \frac{1}{2}(4a_1)(\frac{h_1}{8}) = \frac{4}{8} \cdot (\frac{1}{2}a_1h_1) = \frac{1}{2}S_1$.
Значит, площадь треугольника уменьшится в 2 раза.
Ответ: площадь уменьшится в 2 раза.