Номер 7, страница 98 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

7. В треугольнике ABC сторона AB в три раза больше стороны AC. Чему равно отношение высот, проведенных из вершин В и С?

Пусть в треугольнике $ABC$ стороны равны $AB$ и $AC$. Обозначим высоту, проведенную из вершины B к стороне AC, как $h_B$, а высоту, проведенную из вершины C к стороне AB, как $h_C$.

Площадь треугольника $S$ можно вычислить по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, где $a$ — сторона треугольника, а $h_a$ — высота, проведенная к этой стороне.

Запишем площадь треугольника $ABC$ двумя способами:

1. Используя сторону $AC$ и высоту $h_B$: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_B$

2. Используя сторону $AB$ и высоту $h_C$: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_C$

Поскольку площадь треугольника одна и та же, мы можем приравнять правые части этих двух выражений:

$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_B = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_C$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$AC \cdot h_B = AB \cdot h_C$

По условию задачи, сторона $AB$ в три раза больше стороны $AC$, то есть $AB = 3 \cdot AC$. Подставим это соотношение в наше уравнение:

$AC \cdot h_B = (3 \cdot AC) \cdot h_C$

Теперь разделим обе части уравнения на $AC$ (так как длина стороны не может быть равна нулю):

$h_B = 3 \cdot h_C$

Нам необходимо найти отношение высот, проведенных из вершин B и C, то есть отношение $h_B$ к $h_C$. Для этого разделим обе части последнего равенства на $h_C$:

$\frac{h_B}{h_C} = 3$

Таким образом, отношение высоты, проведенной из вершины B, к высоте, проведенной из вершины C, равно 3.

Ответ: 3.