Вопросы, страница 97 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Сформулируйте теорему о площади треугольника.

2. Чему равна площадь прямоугольного треугольника?

3. Сформулируйте вторую теорему о площади треугольника.

4. Как выражается радиус вписанной окружности через площадь и периметр треугольника?

5. Как выражается радиус вписанной окружности через катеты прямоугольного треугольника?

6. Как выражается радиус вписанной окружности через основание равнобедренного треугольника и высоту, опущенную на это основание?

1. Сформулируйте теорему о площади треугольника.

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию. Если $a$ – сторона треугольника (основание), а $h_a$ – высота, опущенная на эту сторону, то площадь $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} a h_a$

Ответ: Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту, $S = \frac{1}{2} a h_a$.

2. Чему равна площадь прямоугольного треугольника?

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Это является следствием основной теоремы о площади треугольника, так как катеты прямоугольного треугольника взаимно перпендикулярны, и один катет можно рассматривать как основание, а другой — как высоту. Если $a$ и $b$ – катеты прямоугольного треугольника, то его площадь $S$ равна: $S = \frac{1}{2} ab$

Ответ: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, $S = \frac{1}{2} ab$.

3. Сформулируйте вторую теорему о площади треугольника.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Если $a$ и $b$ – две стороны треугольника, а $\gamma$ – угол, заключенный между этими сторонами, то площадь $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} ab \sin(\gamma)$

Ответ: Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними, $S = \frac{1}{2} ab \sin(\gamma)$.

4. Как выражается радиус вписанной окружности через площадь и периметр треугольника?

Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению его площади к полупериметру. Пусть $S$ – площадь треугольника, $P$ – его периметр, а $p = \frac{P}{2}$ – полупериметр. Тогда радиус вписанной окружности $r$ находится по формуле: $r = \frac{S}{p}$ Так как $p = \frac{P}{2}$, формулу можно также записать через периметр $P$: $r = \frac{2S}{P}$

Ответ: Радиус вписанной окружности $r$ выражается через площадь $S$ и полупериметр $p$ как $r = \frac{S}{p}$, или через площадь $S$ и периметр $P$ как $r = \frac{2S}{P}$.

5. Как выражается радиус вписанной окружности через катеты прямоугольного треугольника?

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно выразить через его катеты $a$ и $b$ и гипотенузу $c$. Формула имеет вид: $r = \frac{a+b-c}{2}$ Эта формула следует из общего свойства, что расстояние от вершины до точек касания вписанной окружности на сторонах, образующих эту вершину, равны. Для прямого угла это расстояние равно радиусу $r$. Тогда отрезки на катетах равны $r$ и $a-r$, $r$ и $b-r$. Отрезки на гипотенузе равны $a-r$ и $b-r$. Таким образом, $c = (a-r) + (b-r)$, откуда и следует формула. Поскольку гипотенуза $c$ сама выражается через катеты по теореме Пифагора ($c = \sqrt{a^2+b^2}$), радиус вписанной окружности полностью определяется его катетами: $r = \frac{a+b-\sqrt{a^2+b^2}}{2}$

Ответ: Радиус вписанной окружности $r$ для прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ равен $r = \frac{a+b-c}{2}$.

6. Как выражается радиус вписанной окружности через основание равнобедренного треугольника и высоту, опущенную на это основание?

Рассмотрим равнобедренный треугольник с основанием $b$ и высотой $h$, опущенной на это основание. Радиус вписанной окружности $r$ можно найти, используя общую формулу $r = S/p$. 1. Площадь треугольника $S$ равна: $S = \frac{1}{2} b h$ 2. Высота, проведенная к основанию, является также медианой. Она делит основание на два отрезка длиной $b/2$. Боковую сторону $a$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой, половиной основания и боковой стороной: $a = \sqrt{h^2 + (\frac{b}{2})^2} = \frac{1}{2}\sqrt{4h^2 + b^2}$ 3. Периметр треугольника $P = 2a + b = \sqrt{4h^2 + b^2} + b$. 4. Полупериметр $p = \frac{P}{2} = \frac{\sqrt{4h^2 + b^2} + b}{2}$. 5. Подставим площадь и полупериметр в формулу для радиуса: $r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{1}{2}bh}{\frac{\sqrt{4h^2 + b^2} + b}{2}} = \frac{bh}{\sqrt{4h^2 + b^2} + b}$

Ответ: Радиус вписанной окружности $r$ в равнобедренный треугольник выражается через основание $b$ и высоту $h$ к нему по формуле $r = \frac{bh}{\sqrt{4h^2 + b^2} + b}$.