Номер 15, страница 95 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Найдите площади четырехугольников, изображенных на рисунке 20.7. Стороны квадратных клеток равны 1.

а)

б)

Рис. 20.7

а) Четырехугольник, изображенный на рисунке а), является ромбом, так как его диагонали взаимно перпендикулярны и пересекаются в середине. Площадь ромба можно найти по формуле через его диагонали:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей.

Из рисунка видно, что стороны квадратных клеток равны 1. Найдем длины диагоналей ромба, посчитав клетки:

Первая диагональ (горизонтальная) $d_1 = 2$ единицы.

Вторая диагональ (вертикальная) $d_2 = 4$ единицы.

Теперь вычислим площадь:

$S = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4$ (квадратные единицы).

Ответ: 4.

б) Для нахождения площади четырехугольника, изображенного на рисунке б), воспользуемся формулой Пика. Эта формула позволяет найти площадь многоугольника, вершины которого находятся в узлах целочисленной решетки (в углах клеток).

Формула Пика: $S = I + \frac{B}{2} - 1$, где:

$I$ — количество целочисленных точек (узлов решетки) строго внутри многоугольника.

$B$ — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Посчитаем эти значения для фигуры на рисунке б):

1. Сначала найдем количество точек на границе ($B$). На границе четырехугольника лежат только его 4 вершины. Между вершинами на сторонах других целочисленных точек нет. Таким образом, $B = 4$.

2. Теперь посчитаем количество точек строго внутри ($I$). Внимательно посмотрим на рисунок и посчитаем узлы решетки внутри фигуры. Мы можем насчитать 7 таких точек.

Теперь подставим найденные значения в формулу Пика:

$S = 7 + \frac{4}{2} - 1 = 7 + 2 - 1 = 8$ (квадратных единиц).

Ответ: 8.