Номер 13, страница 95 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей (рис. 20.6).

Рис. 20.6

Пусть дан ромб ABCD. Его диагонали AC и BD пересекаются в точке O (согласно рис. 20.6). Требуется доказать, что площадь ромба $S_{ABCD}$ равна половине произведения его диагоналей, то есть $S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$.

Диагональ AC делит ромб ABCD на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Площадь ромба равна сумме площадей этих двух треугольников: $S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC}$.

Рассмотрим площадь треугольника $\triangle ABC$. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Возьмем в качестве основания сторону AC.

По основному свойству ромба, его диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Следовательно, отрезок BO является высотой треугольника $\triangle ABC$, проведенной к основанию AC.

Таким образом, площадь треугольника $\triangle ABC$ равна: $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BO$.

Аналогично, для треугольника $\triangle ADC$ отрезок DO является высотой, проведенной к основанию AC. Его площадь равна: $S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DO$.

Теперь сложим площади двух треугольников, чтобы найти площадь ромба: $S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BO + \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DO$.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2} \cdot AC$ за скобки: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot (BO + DO)$.

Поскольку точка O является точкой пересечения диагоналей, она лежит на отрезке BD. Следовательно, сумма длин отрезков BO и DO равна длине всей диагонали BD: $BO + DO = BD$.

Подставив это равенство в предыдущую формулу, получаем окончательное выражение для площади ромба: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что площадь ромба ($S$) равна половине произведения его диагоналей ($d_1$ и $d_2$), что выражается формулой $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$.