Номер 1, страница 97 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. На рисунке 21.4 укажите равновеликие треугольники.

Рис. 21.4

Равновеликие фигуры — это фигуры с одинаковой площадью. Для того чтобы определить, какие из представленных треугольников равновелики, необходимо вычислить площадь каждого из них. Примем сторону одной клетки сетки за 1 условную единицу. Площадь треугольника будем вычислять по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ – длина основания треугольника, а $h$ – высота, проведенная к этому основанию.

а) Ни одна из сторон этого треугольника не параллельна линиям сетки. Для вычисления его площади воспользуемся методом описанного прямоугольника. Площадь треугольника 'а' равна разности площади описанного прямоугольника ($S_{прям} = 4 \times 4 = 16$ кв. ед.) и суммарной площади трех прямоугольных треугольников, отсекаемых по углам. Площади этих треугольников равны $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4.5$ кв. ед., $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 = 2$ кв. ед. и $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 = 2$ кв. ед. (площадь трапеции в основании была вычислена как два треугольника). Таким образом, площадь треугольника 'а' составляет: $S_а = 16 - (4.5 + 2 + 2) = 7.5$ кв. ед.

б) У данного треугольника можно выбрать горизонтальное основание, длина которого $a = 6$ единиц. Высота, проведенная к этому основанию, $h = 2$ единицы. Площадь треугольника: $S_б = \frac{1}{2} \times 6 \times 2 = 6$ кв. ед.

в) Основание этого треугольника равно $a = 4$ единицы, а высота, проведенная к нему, $h = 3$ единицы. Площадь треугольника: $S_в = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$ кв. ед.

г) Основание треугольника равно $a = 3$ единицы, высота $h = 3$ единицы. Площадь треугольника: $S_г = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5$ кв. ед.

д) Основание треугольника равно $a = 3$ единицы, высота $h = 2$ единицы. Площадь треугольника: $S_д = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3$ кв. ед.

е) Основание треугольника равно $a = 3$ единицы, высота $h = 3$ единицы. Площадь треугольника: $S_е = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5$ кв. ед.

ж) Основание треугольника равно $a = 4$ единицы, высота $h = 2$ единицы. Площадь треугольника: $S_ж = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$ кв. ед.

з) В качестве основания можно взять вертикальную сторону, ее длина $a = 4$ единицы. Высота, проведенная к ней, $h = 2$ единицы. Площадь треугольника: $S_з = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$ кв. ед.

Сравнив вычисленные площади, можно выделить следующие группы равновеликих треугольников:

• Треугольники б) и в) имеют одинаковую площадь, равную 6 кв. ед.
• Треугольники г) и е) имеют одинаковую площадь, равную 4.5 кв. ед.
• Треугольники ж) и з) имеют одинаковую площадь, равную 4 кв. ед.

Ответ: равновеликими являются следующие группы треугольников: (б, в); (г, е); (ж, з).