Номер 12, страница 99 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Найдите площади треугольников, изображенных на рисунке 21.7.

Стороны квадратных клеток равны 1.

а)

б)

Рис. 21.7

а)

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию. В качестве основания выберем вертикальную сторону треугольника. Поскольку сторона одной клетки равна 1, длина этой стороны (основания) составляет 3 единицы. Таким образом, $a = 3$. Высота, проведенная к этому основанию, — это перпендикуляр от третьей вершины до прямой, содержащей основание. Длина этого перпендикуляра (высоты) равна 3 единицам. Таким образом, $h = 3$. Теперь вычислим площадь:

$S_a = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4,5$.

Ответ: 4,5.

б)

Для нахождения площади этого треугольника удобно использовать метод "дополнения до прямоугольника". Опишем вокруг треугольника прямоугольник так, чтобы его стороны были параллельны линиям сетки, а вершины треугольника лежали на сторонах или в вершинах этого прямоугольника. Минимальная x-координата вершин треугольника равна 1, максимальная — 4. Минимальная y-координата — 1, максимальная — 4. Таким образом, мы получаем прямоугольник (в данном случае квадрат) со сторонами $4-1=3$ и $4-1=3$. Площадь этого квадрата равна $S_{кв} = 3 \cdot 3 = 9$.

Чтобы найти площадь исходного треугольника, нужно из площади квадрата вычесть площади трех прямоугольных треугольников, которые образуются в углах квадрата:

1. Верхний левый треугольник имеет катеты длиной $3-1=2$ и $4-1=3$. Его площадь $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3$.

2. Верхний правый треугольник имеет катеты длиной $4-3=1$ и $4-2=2$. Его площадь $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$.

3. Нижний треугольник имеет катеты длиной $4-1=3$ и $2-1=1$. Его площадь $S_3 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = 1,5$.

Теперь найдем площадь искомого треугольника, вычитая площади этих трех треугольников из площади квадрата:

$S_б = S_{кв} - (S_1 + S_2 + S_3) = 9 - (3 + 1 + 1,5) = 9 - 5,5 = 3,5$.

Ответ: 3,5.