Номер 17, страница 99 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Докажите, что медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников (рис. 21.9).

Рис. 21.9

Пусть в треугольнике $ABC$ проведены медианы, пересекающиеся в точке $M$. Обозначим медианы как $AD, BE$ и $CF$, где $D, E, F$ — середины сторон $BC, AC$ и $AB$ соответственно (используем стандартные обозначения для ясности, которые могут отличаться от маркировки на рисунке). Необходимо доказать, что эти медианы делят треугольник $ABC$ на шесть треугольников с равными площадями (равновеликих): $\triangle AME, \triangle CME, \triangle CMD, \triangle BMD, \triangle BMF, \triangle AMF$.

Доказательство основано на двух ключевых свойствах:
1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.
2. Площадь фигуры можно найти как сумму или разность площадей ее частей.

Рассмотрим медиану $AD$ треугольника $ABC$. Она делит его на два треугольника с равной площадью: $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$.

Теперь рассмотрим треугольник $MBC$. Отрезок $MD$ является его медианой, так как $D$ — середина стороны $BC$. Следовательно, площади треугольников, на которые $MD$ делит $\triangle MBC$, также равны: $S_{\triangle MBD} = S_{\triangle MCD}$.

Площадь треугольника $AMB$ можно представить как разность площадей треугольников $ABD$ и $MBD$:$S_{\triangle AMB} = S_{\triangle ABD} - S_{\triangle MBD}$.

Аналогично, площадь треугольника $AMC$ можно представить как разность площадей треугольников $ACD$ и $MCD$:$S_{\triangle AMC} = S_{\triangle ACD} - S_{\triangle MCD}$.

Поскольку $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$ и $S_{\triangle MBD} = S_{\triangle MCD}$, то из двух предыдущих выражений следует, что $S_{\triangle AMB} = S_{\triangle AMC}$.

Проведя те же рассуждения для медианы $BE$, можно аналогично доказать, что $S_{\triangle AMB} = S_{\triangle CMB}$.

Таким образом, мы установили, что площади трех треугольников, образованных вершинами исходного треугольника и точкой пересечения медиан, равны между собой:$S_{\triangle AMB} = S_{\triangle AMC} = S_{\triangle CMB}$.

Каждый из этих трех треугольников, в свою очередь, делится соответствующей медианой на два равновеликих треугольника:
- В $\triangle AMB$ отрезок $MF$ является медианой, поэтому $S_{\triangle AMF} = S_{\triangle BMF}$. Значит, $S_{\triangle AMF} = S_{\triangle BMF} = \frac{1}{2} S_{\triangle AMB}$.
- В $\triangle BMC$ отрезок $MD$ является медианой, поэтому $S_{\triangle BMD} = S_{\triangle CMD}$. Значит, $S_{\triangle BMD} = S_{\triangle CMD} = \frac{1}{2} S_{\triangle BMC}$.
- В $\triangle AMC$ отрезок $ME$ является медианой, поэтому $S_{\triangle AME} = S_{\triangle CME}$. Значит, $S_{\triangle AME} = S_{\triangle CME} = \frac{1}{2} S_{\triangle AMC}$.

Так как $S_{\triangle AMB} = S_{\triangle AMC} = S_{\triangle CMB}$, то и половины этих площадей равны. Следовательно, все шесть малых треугольников имеют равные площади:$S_{\triangle AMF} = S_{\triangle BMF} = S_{\triangle BMD} = S_{\triangle CMD} = S_{\triangle AME} = S_{\triangle CME}$.

Ответ: Утверждение доказано. Медианы треугольника делят его на шесть треугольников равной площади.