Номер 16, страница 99 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Середины сторон параллелограмма последовательно соединены между собой (рис. 21.8). Какой получился четырехугольник и какова его площадь, если площадь данного параллелограмма равна 16?

Рис. 21.8

Какой получился четырехугольник

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Точки $E$, $F$, $G$, $H$ — середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ соответственно. Четырехугольник, образованный последовательным соединением середин сторон произвольного четырехугольника, всегда является параллелограммом (теорема Вариньона). Докажем это для нашего случая.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$ и отрезок $EF$. Так как $E$ — середина $AB$, а $F$ — середина $BC$, то $EF$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне ($AC$) и равна ее половине:
$EF \parallel AC$ и $EF = \frac{1}{2}AC$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $ADC$ и отрезок $HG$. Так как $H$ — середина $AD$, а $G$ — середина $CD$, то $HG$ является средней линией треугольника $ADC$. Следовательно:
$HG \parallel AC$ и $HG = \frac{1}{2}AC$.

3. Из полученных соотношений следует, что отрезки $EF$ и $HG$ параллельны друг другу (поскольку оба параллельны $AC$) и равны по длине (поскольку оба равны половине $AC$):
$EF \parallel HG$ и $EF = HG$.

В четырехугольнике $EFGH$ противоположные стороны $EF$ и $HG$ равны и параллельны. По признаку параллелограмма, такой четырехугольник является параллелограммом.

Ответ: получившийся четырехугольник является параллелограммом.

Какова его площадь

Площадь внутреннего параллелограмма $EFGH$ можно вычислить, отняв от площади исходного параллелограмма $ABCD$ площади четырех угловых треугольников: $\triangle HAE$, $\triangle EBF$, $\triangle FCG$ и $\triangle GDH$. Площадь $S_{ABCD}$ нам дана и равна 16.

1. Выразим площадь треугольника $HAE$ через площадь параллелограмма $ABCD$.
Площадь параллелограмма $ABCD$ можно вычислить по формуле $S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin(\angle A)$.
По условию $AE = \frac{1}{2}AB$ и $AH = \frac{1}{2}AD$.
Площадь треугольника $HAE$ равна:
$S_{HAE} = \frac{1}{2} AH \cdot AE \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2}AD) \cdot (\frac{1}{2}AB) \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{8} (AB \cdot AD \cdot \sin(\angle A)) = \frac{1}{8} S_{ABCD}$.

2. Аналогично, все четыре угловых треугольника имеют площадь, равную $\frac{1}{8}$ площади исходного параллелограмма. Например, для $\triangle EBF$:
$S_{EBF} = \frac{1}{2} EB \cdot BF \cdot \sin(\angle B)$. Учитывая, что $EB = \frac{1}{2}AB$, $BF = \frac{1}{2}BC$, $BC=AD$ и $\sin(\angle B) = \sin(180^\circ - \angle A) = \sin(\angle A)$, получаем:
$S_{EBF} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2}AB) \cdot (\frac{1}{2}AD) \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{8} S_{ABCD}$.
Точно так же $S_{FCG} = \frac{1}{8} S_{ABCD}$ и $S_{GDH} = \frac{1}{8} S_{ABCD}$.

3. Суммарная площадь всех четырех угловых треугольников составляет:
$S_{\text{углов}} = S_{HAE} + S_{EBF} + S_{FCG} + S_{GDH} = 4 \cdot (\frac{1}{8} S_{ABCD}) = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

4. Площадь искомого четырехугольника $EFGH$ равна разности площадей $S_{ABCD}$ и $S_{\text{углов}}$:
$S_{EFGH} = S_{ABCD} - S_{\text{углов}} = S_{ABCD} - \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

5. Подставляем известное значение площади $S_{ABCD} = 16$:
$S_{EFGH} = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$.

Ответ: площадь получившегося четырехугольника равна 8.