Номер 22, страница 100 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

22. Какую часть от площади треугольника $ABC$ составляет площадь закрашенной фигуры (рис. 21.11)?

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Рис. 21.11

Для решения всех подпунктов задачи будем использовать два основных свойства площадей треугольников:

1. Если два треугольника имеют общий угол, то отношение их площадей равно отношению произведений сторон, заключающих этот угол. Например, для $\triangle ABC$ и $\triangle APQ$ с общим углом $A$, где $P$ на $AB$ и $Q$ на $AC$, справедливо: $\frac{S_{APQ}}{S_{ABC}} = \frac{AP \cdot AQ}{AB \cdot AC}$.

2. Если два треугольника имеют общую высоту, то отношение их площадей равно отношению длин оснований, к которым проведена эта высота. Например, если у $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$ общая высота из вершины $B$, то $\frac{S_{ABM}}{S_{CBM}} = \frac{AM}{CM}$.

Обозначим площадь треугольника $ABC$ как $S$.

а) Закрашенная фигура - это треугольник, у которого одна вершина совпадает с вершиной $A$ треугольника $ABC$, а две другие ($A_1$ и $C_1$) лежат на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно. По отметкам на сторонах, $A_1$ - середина $AB$ и $C_1$ - середина $AC$. Таким образом, $AA_1 = \frac{1}{2}AB$ и $AC_1 = \frac{1}{2}AC$.

Треугольники $\triangle AA_1C_1$ и $\triangle ABC$ имеют общий угол $A$. Отношение их площадей равно отношению произведений сторон, образующих этот угол:

$\frac{S_{AA_1C_1}}{S} = \frac{AA_1 \cdot AC_1}{AB \cdot AC} = \frac{\frac{1}{2}AB \cdot \frac{1}{2}AC}{AB \cdot AC} = \frac{1}{4}$.

Следовательно, площадь закрашенной фигуры составляет $\frac{1}{4}$ от площади треугольника $ABC$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

б) Закрашенная фигура - это треугольник $A_1B_1C_1$, вершины которого, судя по отметкам, являются серединами сторон треугольника $ABC$: $A_1$ - середина $BC$, $B_1$ - середина $AC$, $C_1$ - середина $AB$. Такой треугольник называется срединным.

Срединный треугольник отсекает от исходного треугольника три малых треугольника по углам: $\triangle AC_1B_1$, $\triangle C_1BA_1$ и $\triangle B_1A_1C$. Площадь каждого из них, по принципу, разобранному в пункте а), равна $\frac{1}{4}S$.

Площадь закрашенного треугольника $A_1B_1C_1$ можно найти, вычтя из площади $S$ площади трех угловых треугольников:

$S_{A_1B_1C_1} = S - S_{AC_1B_1} - S_{C_1BA_1} - S_{B_1A_1C} = S - \frac{1}{4}S - \frac{1}{4}S - \frac{1}{4}S = S \cdot \left(1 - \frac{3}{4}\right) = \frac{1}{4}S$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

в) Закрашенная фигура - это четырехугольник $A_1CB_1C_1$. Определим положение точек на сторонах по отметкам:

Точка $C_1$ на стороне $AB$: $AC_1:C_1B = 2:1$, откуда $AC_1 = \frac{2}{3}AB$ и $C_1B = \frac{1}{3}AB$.

Точка $A_1$ на стороне $AC$: $AA_1:A_1C = 1:2$, откуда $AA_1 = \frac{1}{3}AC$.

Точка $B_1$ на стороне $BC$: $CB_1 = B_1B$, то есть $B_1$ - середина $BC$, и $BB_1 = \frac{1}{2}BC$.

Площадь закрашенной фигуры найдем, вычтя из площади $S$ площади двух незакрашенных треугольников: $\triangle AC_1A_1$ и $\triangle C_1BB_1$.

Площадь $\triangle AC_1A_1$ (общий угол $A$ с $\triangle ABC$): $\frac{S_{AC_1A_1}}{S} = \frac{AC_1 \cdot AA_1}{AB \cdot AC} = \frac{\frac{2}{3}AB \cdot \frac{1}{3}AC}{AB \cdot AC} = \frac{2}{9}$.

Площадь $\triangle C_1BB_1$ (общий угол $B$ с $\triangle ABC$): $\frac{S_{C_1BB_1}}{S} = \frac{C_1B \cdot BB_1}{AB \cdot BC} = \frac{\frac{1}{3}AB \cdot \frac{1}{2}BC}{AB \cdot BC} = \frac{1}{6}$.

Площадь закрашенной фигуры: $S_{закр} = S - S_{AC_1A_1} - S_{C_1BB_1} = S - \frac{2}{9}S - \frac{1}{6}S = S \cdot \left(1 - \frac{2}{9} - \frac{1}{6}\right) = S \cdot \left(\frac{18 - 4 - 3}{18}\right) = \frac{11}{18}S$.

Ответ: $\frac{11}{18}$

г) Закрашенная фигура - это треугольник $CC_1B$. Точка $C_1$ лежит на стороне $AB$.

По отметкам на стороне $AB$ имеем соотношение $AC_1:C_1B = 1:2$, откуда следует, что $C_1B = \frac{2}{3}AB$.

Треугольники $CC_1B$ и $ABC$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $C$ к прямой $AB$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению длин оснований:

$\frac{S_{CC_1B}}{S} = \frac{C_1B}{AB} = \frac{\frac{2}{3}AB}{AB} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

д) Закрашенная фигура - это треугольник $BB_1A_1$.

Определим положение точек по отметкам: точка $A_1$ на стороне $BC$ такова, что $BA_1:A_1C = 1:2$, значит $A_1C = \frac{2}{3}BC$. Точка $B_1$ является серединой стороны $AC$, то есть $B_1C = \frac{1}{2}AC$.

Площадь закрашенной фигуры найдем, вычтя из площади $S$ площади двух незакрашенных треугольников: $\triangle ABB_1$ и $\triangle A_1B_1C$.

Площадь $\triangle ABB_1$: треугольники $\triangle ABB_1$ и $\triangle ABC$ имеют общую высоту из вершины $B$. Отношение их площадей равно отношению оснований: $\frac{S_{ABB_1}}{S} = \frac{AB_1}{AC} = \frac{1}{2}$.

Площадь $\triangle A_1B_1C$: треугольники $\triangle A_1B_1C$ и $\triangle ABC$ имеют общий угол $C$. Отношение их площадей равно: $\frac{S_{A_1B_1C}}{S} = \frac{CA_1 \cdot CB_1}{CB \cdot CA} = \frac{\frac{2}{3}BC \cdot \frac{1}{2}AC}{BC \cdot AC} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$.

Площадь закрашенной фигуры: $S_{закр} = S - S_{ABB_1} - S_{A_1B_1C} = S - \frac{1}{2}S - \frac{1}{3}S = S \cdot \left(1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) = S \cdot \left(\frac{6 - 3 - 2}{6}\right) = \frac{1}{6}S$.

Ответ: $\frac{1}{6}$

е) Закрашенная фигура - это треугольник $BA_1C_1$. Точки $A_1$ и $C_1$ лежат на стороне $AC$.

По отметкам на стороне $AC$ видно, что $AA_1 = A_1C_1 = C_1C$. Это означает, что сторона $AC$ разделена на три равные части, и длина основания закрашенного треугольника $A_1C_1$ составляет $\frac{1}{3}$ длины стороны $AC$.

Треугольники $BA_1C_1$ и $ABC$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $B$ к прямой $AC$. Отношение их площадей равно отношению длин оснований:

$\frac{S_{BA_1C_1}}{S} = \frac{A_1C_1}{AC} = \frac{\frac{1}{3}AC}{AC} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$