Номер 19, страница 100 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки равностороннего треугольника до его сторон постоянна и равна высоте этого треугольника (рис. 21.10).

Рис. 21.10

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$ и высотой $h$. Возьмем произвольную точку $G$ внутри этого треугольника, как показано на рисунке. Обозначим расстояния от точки $G$ до сторон $AB$, $BC$ и $AC$ как $GF$, $GD$ и $GE$ соответственно. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, поэтому $GF \perp AB$, $GD \perp BC$ и $GE \perp AC$.

Задача состоит в том, чтобы доказать, что сумма этих расстояний является постоянной величиной и равна высоте треугольника, то есть $GF + GD + GE = h$.

Для доказательства используем метод площадей. Соединим точку $G$ с вершинами треугольника $A$, $B$ и $C$. В результате треугольник $ABC$ будет разделен на три меньших треугольника: $\triangle AGB$, $\triangle BGC$ и $\triangle CGA$.

Площадь большого треугольника $ABC$ равна сумме площадей этих трех треугольников: $S_{ABC} = S_{AGB} + S_{BGC} + S_{CGA}$.

С одной стороны, площадь треугольника $ABC$ можно вычислить по стандартной формуле через основание и высоту. Пусть $h$ - высота треугольника $ABC$, проведенная, например, к стороне $AB$. Так как треугольник равносторонний, все его стороны равны $a$. $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} a h$.

С другой стороны, вычислим площади трех меньших треугольников. Для каждого из них сторона большого треугольника ($AB$, $BC$ или $AC$) будет служить основанием, а перпендикуляр, опущенный из точки $G$ на эту сторону, — соответствующей высотой.

Площадь треугольника $AGB$ с основанием $AB=a$ и высотой $GF$: $S_{AGB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot GF = \frac{1}{2} a \cdot GF$.

Площадь треугольника $BGC$ с основанием $BC=a$ и высотой $GD$: $S_{BGC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot GD = \frac{1}{2} a \cdot GD$.

Площадь треугольника $CGA$ с основанием $AC=a$ и высотой $GE$: $S_{CGA} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot GE = \frac{1}{2} a \cdot GE$.

Теперь подставим выражения для всех площадей в исходное равенство: $S_{ABC} = S_{AGB} + S_{BGC} + S_{CGA}$ $\frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} a \cdot GF + \frac{1}{2} a \cdot GD + \frac{1}{2} a \cdot GE$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2} a$ за скобки в правой части уравнения: $\frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} a (GF + GD + GE)$

Поскольку длина стороны треугольника $a$ не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $\frac{1}{2} a$: $h = GF + GD + GE$

Высота $h$ в данном равностороннем треугольнике — это постоянная величина (она зависит только от длины стороны $a$). Следовательно, мы доказали, что сумма расстояний от любой внутренней точки до сторон равностороннего треугольника постоянна и равна высоте этого треугольника.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма расстояний от произвольной точки внутри равностороннего треугольника до его сторон постоянна и равна высоте этого треугольника.