Номер 26, страница 101 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

26. Точки $K$ и $M$ делят диагональ $AC$ прямоугольника $ABCD$ на равные три отрезка (рис. 21.16). Какую часть от площади прямоугольника $ABCD$ составляет площадь треугольника $KBM$?

Рис. 21.16

Рассмотрим треугольник $ABC$. Его площадь $S_{ABC}$ составляет половину площади прямоугольника $ABCD$, так как диагональ $AC$ делит прямоугольник на два равных треугольника.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$

Теперь рассмотрим треугольники $ABK$, $KBM$ и $MBC$. У этих трех треугольников есть общая вершина $B$, а их основания $AK$, $KM$ и $MC$ лежат на одной прямой $AC$.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

Проведем из вершины $B$ высоту на диагональ $AC$. Длина этой высоты будет одинаковой для всех трех треугольников: $\triangle ABK$, $\triangle KBM$ и $\triangle MBC$. Обозначим эту высоту как $h_B$.

По условию задачи, точки $K$ и $M$ делят диагональ $AC$ на три равных отрезка, следовательно, основания этих треугольников равны:

$AK = KM = MC$

Поскольку у треугольников $ABK$, $KBM$ и $MBC$ равные основания и общая высота, их площади также равны:

$S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot h_B$

$S_{KBM} = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot h_B$

$S_{MBC} = \frac{1}{2} \cdot MC \cdot h_B$

Следовательно, $S_{ABK} = S_{KBM} = S_{MBC}$.

Сумма площадей этих трех треугольников равна площади треугольника $ABC$:

$S_{ABC} = S_{ABK} + S_{KBM} + S_{MBC} = 3 \cdot S_{KBM}$

Из этого соотношения мы можем выразить площадь треугольника $KBM$ через площадь треугольника $ABC$:

$S_{KBM} = \frac{1}{3} S_{ABC}$

Подставим ранее найденное выражение для $S_{ABC}$:

$S_{KBM} = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} S_{ABCD}) = \frac{1}{6} S_{ABCD}$

Таким образом, площадь треугольника $KBM$ составляет одну шестую часть от площади прямоугольника $ABCD$.

Ответ: Площадь треугольника $KBM$ составляет $\frac{1}{6}$ от площади прямоугольника $ABCD$.