Номер 27, страница 101 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

27. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $BC$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$ (рис. 21.17, 21.18, 21.19). Чему равна сумма площадей закрашенных частей параллелограмма, если площадь параллелограмма $ABCD$ равна 56?

Обозначим площадь параллелограмма $ABCD$ как $S_{ABCD}$, основание $AD$ как $a$ и высоту, проведенную к этому основанию, как $h$. Тогда $S_{ABCD} = a \cdot h = 56$. По условию, точка $N$ — середина стороны $AD$, а точка $M$ — середина стороны $BC$. Из свойств параллелограмма следует, что $AD = BC = a$ и $AD \parallel BC$. Следовательно, $AN = ND = \frac{1}{2}a$ и $BM = MC = \frac{1}{2}a$. Рассмотрим каждый рисунок отдельно.

Рис. 21.17

Закрашенные части — это треугольники $\triangle ABN$ и $\triangle CDM$. Площадь треугольника $\triangle ABN$ с основанием $AN$ и высотой, равной высоте параллелограмма $h$ (расстояние от точки $B$ до прямой $AD$), равна: $S_{ABN} = \frac{1}{2} \cdot AN \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2}a) \cdot h = \frac{1}{4} (a \cdot h) = \frac{1}{4} S_{ABCD}$.

Площадь треугольника $\triangle CDM$ можно найти, используя формулу площади через стороны и угол между ними. Пусть $\angle D = \alpha$, тогда $\angle C = 180^\circ - \alpha$. Площадь параллелограмма также можно выразить как $S_{ABCD} = CD \cdot BC \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = CD \cdot a \cdot \sin(\alpha)$. Площадь $\triangle CDM$ равна: $S_{CDM} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot MC \cdot \sin(\angle C) = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot (\frac{1}{2}BC) \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = \frac{1}{4} (CD \cdot BC \cdot \sin(180^\circ - \alpha)) = \frac{1}{4} S_{ABCD}$.

Сумма площадей закрашенных частей равна: $S_{закраш.} = S_{ABN} + S_{CDM} = \frac{1}{4} S_{ABCD} + \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$. $S_{закраш.} = \frac{1}{2} \cdot 56 = 28$.

Ответ: 28.

Рис. 21.18

Закрашенная часть — это четырехугольник $AMCN$. Так как $N$ и $M$ — середины параллельных и равных сторон $AD$ и $BC$ соответственно, то отрезки $AN$ и $MC$ параллельны и равны: $AN = MC = \frac{1}{2}a$. Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, является параллелограммом. Следовательно, $AMCN$ — параллелограмм.

Площадь параллелограмма $AMCN$ с основанием $AN$ и высотой, равной высоте исходного параллелограмма $h$ (расстояние между прямыми $AD$ и $BC$), равна: $S_{AMCN} = AN \cdot h = (\frac{1}{2}a) \cdot h = \frac{1}{2} (a \cdot h) = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Площадь закрашенной части равна: $S_{закраш.} = \frac{1}{2} \cdot 56 = 28$.

Ответ: 28.

Рис. 21.19

Закрашенные части — это треугольники $\triangle ADM$ и $\triangle BCN$. Площадь треугольника $\triangle ADM$ с основанием $AD$ и высотой, проведенной из точки $M$ к прямой $AD$. Так как $M$ — середина $BC$ и $BC \parallel AD$, эта высота равна половине высоты параллелограмма $ABCD$, то есть $\frac{1}{2}h$. $S_{ADM} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot (\frac{1}{2}h) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{4} (a \cdot h) = \frac{1}{4} S_{ABCD}$.

Площадь треугольника $\triangle BCN$ с основанием $BC$ и высотой, проведенной из точки $N$ к прямой $BC$. Так как $N$ — середина $AD$ и $AD \parallel BC$, эта высота также равна половине высоты параллелограмма $ABCD$, то есть $\frac{1}{2}h$. $S_{BCN} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot (\frac{1}{2}h) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{4} (a \cdot h) = \frac{1}{4} S_{ABCD}$.

Сумма площадей закрашенных частей равна: $S_{закраш.} = S_{ADM} + S_{BCN} = \frac{1}{4} S_{ABCD} + \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$. $S_{закраш.} = \frac{1}{2} \cdot 56 = 28$.

Ответ: 28.