Номер 21, страница 100 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

21. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, основание которого равно 3, а высота, опущенная на это основание, равна 2.

Для нахождения радиуса вписанной окружности $r$ воспользуемся формулой $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Найдем площадь треугольника.

Пусть нам дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC = 3$ и высотой $BH = 2$, опущенной на это основание.

Площадь треугольника вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание, $h$ — высота.

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$.

2. Найдем боковую сторону треугольника.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, она делит основание $AC$ на два равных отрезка: $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. По теореме Пифагора найдем боковую сторону $BC$ (гипотенузу):

$BC^2 = BH^2 + HC^2$

$BC^2 = 2^2 + (1.5)^2 = 4 + 2.25 = 6.25$

$BC = \sqrt{6.25} = 2.5$.

Так как треугольник равнобедренный, то $AB = BC = 2.5$.

3. Найдем полупериметр треугольника.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон:

$P = AB + BC + AC = 2.5 + 2.5 + 3 = 8$.

Полупериметр $p$ равен половине периметра:

$p = \frac{P}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

4. Найдем радиус вписанной окружности.

Теперь, зная площадь $S = 3$ и полупериметр $p = 4$, мы можем найти радиус вписанной окружности:

$r = \frac{S}{p} = \frac{3}{4} = 0.75$.

Ответ: $0.75$