Номер 18, страница 100 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Найдите геометрическое место вершин $C$ треугольников, равновеликих данному треугольнику $ABC$ и имеющих с ним общую сторону $AB$.

Пусть дан треугольник $ABC$. Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

В качестве основания для всех рассматриваемых треугольников выберем их общую сторону $AB$. Площадь данного треугольника $ABC$ равна $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_C$, где $h_C$ — это высота, опущенная из вершины $C$ на прямую, содержащую сторону $AB$.

Пусть $C'$ — вершина любого другого треугольника $ABC'$, который равновелик данному (то есть имеет такую же площадь) и имеет с ним общую сторону $AB$. Его площадь $S_{ABC'}$ равна $S_{ABC'} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{C'}$, где $h_{C'}$ — высота, опущенная из вершины $C'$ на прямую $AB$.

По условию задачи, площади этих треугольников равны: $S_{ABC} = S_{ABC'}$.

Приравнивая выражения для площадей, получаем:

$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_C = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{C'}$

Поскольку $AB$ — сторона треугольника, ее длина не равна нулю ($AB > 0$), мы можем сократить обе части равенства на $\frac{1}{2} \cdot AB$, что дает нам:

$h_C = h_{C'}$

Это равенство означает, что любая искомая вершина $C'$ должна быть удалена от прямой, содержащей основание $AB$, на то же расстояние, что и исходная вершина $C$.

Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной прямой, — это пара прямых, параллельных данной прямой и находящихся от нее на заданном расстоянии.

Следовательно, искомое геометрическое место вершин $C$ состоит из двух прямых, параллельных прямой $AB$ и отстоящих от нее на расстояние $h_C$. Одна из этих прямых проходит через саму точку $C$. Вторая прямая находится по другую сторону от прямой $AB$ и симметрична первой относительно прямой $AB$. Точки, лежащие на самой прямой $AB$, не входят в это множество, так как в этом случае треугольник вырождается в отрезок. Это условие выполняется автоматически, так как для невырожденного треугольника $ABC$ высота $h_C > 0$, поэтому найденные параллельные прямые не совпадают с прямой $AB$.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это две прямые, параллельные прямой $AB$, одна из которых проходит через вершину $C$, а другая симметрична ей относительно прямой $AB$.