Номер 11, страница 99 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Две стороны треугольника равны 6 см и 5 см. Может ли его площадь быть равна:
а) $10 \text{ см}^2$;
б) $15 \text{ см}^2$;
в) $20 \text{ см}^2$?

Пусть две известные стороны треугольника равны $a = 6$ см и $b = 5$ см, а угол между ними равен $\gamma$. Площадь треугольника $S$ можно вычислить по формуле:$S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$Подставим в формулу известные значения сторон:$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot \sin\gamma = 15 \sin\gamma$Значение синуса угла в треугольнике ($0^\circ < \gamma < 180^\circ$) находится в пределах $0 < \sin\gamma \le 1$.Площадь треугольника будет максимальной, когда $\sin\gamma$ будет максимальным, то есть когда $\sin\gamma = 1$. Это соответствует углу $\gamma = 90^\circ$.Найдем максимальную возможную площадь для треугольника с данными сторонами:$S_{max} = 15 \cdot 1 = 15$ см².Следовательно, площадь данного треугольника не может быть больше 15 см². Теперь рассмотрим каждый случай.

а) Может ли площадь быть равна 10 см²?Для этого должно выполняться равенство $10 = 15 \sin\gamma$. Отсюда находим $\sin\gamma$:$\sin\gamma = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$Так как $0 < \frac{2}{3} \le 1$, то такой угол $\gamma$ существует. Значит, площадь треугольника может быть равна 10 см².
Ответ: может.

б) Может ли площадь быть равна 15 см²?Для этого должно выполняться равенство $15 = 15 \sin\gamma$. Отсюда находим $\sin\gamma$:$\sin\gamma = \frac{15}{15} = 1$Такой угол $\gamma$ существует и равен $90^\circ$. Это случай, когда треугольник является прямоугольным, а данные стороны — его катетами. Значит, площадь треугольника может быть равна 15 см².
Ответ: может.

в) Может ли площадь быть равна 20 см²?Для этого должно выполняться равенство $20 = 15 \sin\gamma$. Отсюда находим $\sin\gamma$:$\sin\gamma = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$Так как $\frac{4}{3} > 1$, а синус угла не может быть больше 1, то такого угла $\gamma$ не существует. Значит, площадь треугольника не может быть равна 20 см², потому что это больше максимально возможной площади (15 см²).
Ответ: не может.