Номер 10, страница 99 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

10. В треугольнике проведены все средние линии (рис. 21.6). Какую часть площади данного треугольника составляет площадь треугольника, образованного этими линиями?

Пусть дан треугольник $ABC$. Точки $D$, $E$ и $F$ — середины сторон $AC$, $BC$ и $AB$ соответственно, как показано на рисунке. Отрезки $DE$, $EF$ и $DF$ являются средними линиями треугольника $ABC$. Эти средние линии образуют треугольник $DEF$. Нам нужно найти, какую часть площади треугольника $ABC$ составляет площадь треугольника $DEF$.

Воспользуемся свойством средней линии треугольника: средняя линия, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.
Следовательно, мы имеем:
$DE \parallel AB$ и $DE = \frac{1}{2}AB$
$EF \parallel AC$ и $EF = \frac{1}{2}AC$
$DF \parallel BC$ и $DF = \frac{1}{2}BC$

Рассмотрим треугольник $CDE$ и исходный треугольник $CBA$.
1. Угол $\angle C$ является общим для обоих треугольников.
2. Поскольку $DE \parallel AB$, то углы $\angle CDE$ и $\angle CAB$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $DE$ и $AB$ и секущей $AC$.
Таким образом, треугольник $CDE$ подобен треугольнику $CBA$ по двум углам.

Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответственных сторон:
$k = \frac{CD}{CA} = \frac{CE}{CB} = \frac{DE}{AB} = \frac{1}{2}$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия.
$\frac{S_{CDE}}{S_{CBA}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
Отсюда следует, что площадь треугольника $CDE$ составляет одну четвертую от площади треугольника $ABC$: $S_{CDE} = \frac{1}{4}S_{ABC}$.

Аналогично, можно доказать, что треугольники $ADF$ и $BFE$ также подобны треугольнику $ABC$ с тем же коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$. Поэтому их площади также равны $\frac{1}{4}$ площади треугольника $ABC$:
$S_{ADF} = \frac{1}{4}S_{ABC}$
$S_{BFE} = \frac{1}{4}S_{ABC}$

Три средние линии разделяют исходный треугольник $ABC$ на четыре меньших треугольника: $ADF$, $BFE$, $CDE$ и $DEF$. Сумма их площадей равна площади исходного треугольника:
$S_{ABC} = S_{ADF} + S_{BFE} + S_{CDE} + S_{DEF}$

Теперь подставим найденные значения площадей в это равенство:
$S_{ABC} = \frac{1}{4}S_{ABC} + \frac{1}{4}S_{ABC} + \frac{1}{4}S_{ABC} + S_{DEF}$
$S_{ABC} = \frac{3}{4}S_{ABC} + S_{DEF}$

Из этого уравнения выразим площадь центрального треугольника $DEF$:
$S_{DEF} = S_{ABC} - \frac{3}{4}S_{ABC} = \frac{1}{4}S_{ABC}$

Таким образом, площадь треугольника, образованного средними линиями, составляет одну четвертую часть от площади данного треугольника.

Ответ: Площадь треугольника, образованного этими линиями, составляет $\frac{1}{4}$ площади данного треугольника.