Номер 13, страница 99 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Докажите, что медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ и проведём в нём медиану $BM$ к стороне $AC$. По определению, медиана делит сторону, к которой она проведена, на два равных отрезка. Следовательно, $AM = MC$.

Наша задача — доказать, что треугольники $ABM$ и $CBM$, на которые медиана $BM$ разбивает треугольник $ABC$, являются равновеликими. Равновеликие фигуры — это фигуры, имеющие равные площади. Таким образом, нам нужно доказать, что $S_{\triangle ABM} = S_{\triangle CBM}$.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — основание треугольника, а $h$ — высота, проведённая к этому основанию.

Проведём из вершины $B$ высоту $BH$ к стороне $AC$. Эта высота будет общей для треугольников $ABM$ и $CBM$, так как их основания $AM$ и $CM$ лежат на одной прямой.

Найдём площадь треугольника $ABM$, используя $AM$ в качестве основания: $S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot BH$.

Найдём площадь треугольника $CBM$, используя $CM$ в качестве основания: $S_{\triangle CBM} = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot BH$.

Теперь сравним площади этих двух треугольников. Мы знаем, что $AM = MC$ (так как $BM$ — медиана) и высота $BH$ у них общая. Поскольку правые части формул для площадей состоят из одинаковых множителей ($\frac{1}{2}$, равные основания и общая высота), то они равны. Следовательно, равны и сами площади: $S_{\triangle ABM} = S_{\triangle CBM}$.

Это доказывает, что медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.

Ответ: Что и требовалось доказать.