Номер 23, страница 100 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

23. Сравните площади треугольников, изображенных на рисунках (рис. 21.12, 21.13).

Рис. 21.12

Рис. 21.13

Для того чтобы сравнить площади треугольников, изображенных на рисунках, необходимо вычислить сумму площадей всех треугольников на каждом рисунке. За единицу длины примем сторону одной клетки на сетке.

Рис. 21.12

На этом рисунке изображены четыре треугольника. Все они имеют общую вершину и, следовательно, общую высоту. Их основания лежат на одной прямой. Так как эти треугольники не пересекаются, общая площадь фигуры, которую они образуют, равна сумме их площадей.

Формула площади треугольника: $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — основание, $h$ — высота.

Высота всех четырех треугольников одинакова и равна $h = 3$ единицы.

Основания треугольников (слева направо) равны: $b_1 = 3$, $b_2 = 1$, $b_3 = 1$, $b_4 = 2$ единицы.

Найдем сумму площадей $S_{12}$ всех треугольников:

$S_{12} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = \frac{1}{2}b_1h + \frac{1}{2}b_2h + \frac{1}{2}b_3h + \frac{1}{2}b_4h$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}h$ за скобки:

$S_{12} = \frac{1}{2}h(b_1 + b_2 + b_3 + b_4)$

Подставим числовые значения:

$S_{12} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (3 + 1 + 1 + 2) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 7 = 10,5$ квадратных единиц.

Рис. 21.13

На этом рисунке изображены четыре треугольника. Все они имеют общее основание, но разные высоты. Треугольники пересекаются, но для сравнения мы найдем сумму их площадей.

Длина общего основания всех четырех треугольников равна $a = 3$ единицы.

Высоты треугольников равны: $h_1 = 3$, $h_2 = 4$, $h_3 = 4$, $h_4 = 3$ единицы.

Найдем сумму площадей $S_{13}$ всех треугольников:

$S_{13} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = \frac{1}{2}ah_1 + \frac{1}{2}ah_2 + \frac{1}{2}ah_3 + \frac{1}{2}ah_4$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}a$ за скобки:

$S_{13} = \frac{1}{2}a(h_1 + h_2 + h_3 + h_4)$

Подставим числовые значения:

$S_{13} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (3 + 4 + 4 + 3) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 14 = 21$ квадратная единица.

Сравнение площадей

Теперь сравним вычисленные суммарные площади треугольников для каждого рисунка:

Сумма площадей на рис. 21.12: $S_{12} = 10,5$ кв. ед.

Сумма площадей на рис. 21.13: $S_{13} = 21$ кв. ед.

Найдем отношение этих площадей: $\frac{S_{13}}{S_{12}} = \frac{21}{10,5} = 2$.

Таким образом, $S_{13} = 2 \cdot S_{12}$.

Ответ: Сумма площадей треугольников, изображенных на рисунке 21.13, в два раза больше суммы площадей треугольников, изображенных на рисунке 21.12.