Номер 24, страница 100 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

24. Вершины треугольника $ABC$ лежат на окружности, причем точки $A$ и $C$ зафиксированы, а точка $B$ движется по дуге $AC$ от $A$ к $C$ (рис. 21.14). Как при этом меняется площадь треугольника $ABC$?

Рис. 21.14

Площадь треугольника $ABC$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

В качестве основания треугольника $ABC$ выберем сторону $AC$. Так как по условию точки $A$ и $C$ зафиксированы, то длина основания $AC$ является постоянной величиной.

Таким образом, площадь треугольника $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_B$, где $h_B$ — это высота, опущенная из вершины $B$ на прямую $AC$. Поскольку длина $AC$ не меняется, площадь треугольника зависит только от высоты $h_B$. Чем больше высота, тем больше площадь.

Высота $h_B$ — это расстояние от точки $B$ до прямой $AC$. Когда точка $B$ начинает движение от точки $A$, она удаляется от прямой $AC$. Расстояние $h_B$ (и, следовательно, площадь) увеличивается. Это расстояние будет максимальным, когда точка $B$ достигнет середины дуги $AC$. В этот момент треугольник $ABC$ будет равнобедренным с основанием $AC$ ($AB=BC$), а его площадь будет наибольшей.

При дальнейшем движении точки $B$ от середины дуги к точке $C$, она начинает приближаться к прямой $AC$. Расстояние $h_B$ (и площадь) начинает уменьшаться. Когда точка $B$ совпадет с точкой $C$, высота $h_B$ станет равной нулю, и площадь треугольника также станет равной нулю.

Ответ: При движении точки B от A к C площадь треугольника ABC сначала возрастает от нуля до максимального значения, которое достигается, когда B находится в середине дуги AC, а затем убывает от максимального значения до нуля.