Страница 95 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Квадрат и ромб имеют соответственно равные стороны. Найдите острый угол ромба, если его площадь равна половине площади квадрата.

Пусть сторона квадрата и ромба равна $a$.
Площадь квадрата ($S_{кв}$) вычисляется по формуле: $S_{кв} = a^2$.
Площадь ромба ($S_{ромба}$) можно найти через его сторону и угол между сторонами. Формула площади ромба: $S_{ромба} = a^2 \cdot \sin(\alpha)$, где $\alpha$ — это угол между сторонами. В задаче требуется найти острый угол, поэтому мы будем считать, что $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.
Согласно условию задачи, площадь ромба равна половине площади квадрата:
$S_{ромба} = \frac{1}{2} S_{кв}$
Теперь подставим в это равенство формулы для площадей:
$a^2 \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot a^2$
Поскольку сторона фигуры $a$ не может быть равна нулю ($a > 0$), мы можем сократить обе части уравнения на $a^2$:
$\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$
Мы ищем острый угол ромба. Значение угла, синус которого равен $\frac{1}{2}$, и который находится в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$, равно $30^\circ$.
Следовательно, острый угол ромба равен $30^\circ$.
Ответ: $30^\circ$

13. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей (рис. 20.6).

Рис. 20.6

Пусть дан ромб ABCD. Его диагонали AC и BD пересекаются в точке O (согласно рис. 20.6). Требуется доказать, что площадь ромба $S_{ABCD}$ равна половине произведения его диагоналей, то есть $S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$.

Диагональ AC делит ромб ABCD на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Площадь ромба равна сумме площадей этих двух треугольников: $S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC}$.

Рассмотрим площадь треугольника $\triangle ABC$. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Возьмем в качестве основания сторону AC.

По основному свойству ромба, его диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Следовательно, отрезок BO является высотой треугольника $\triangle ABC$, проведенной к основанию AC.

Таким образом, площадь треугольника $\triangle ABC$ равна: $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BO$.

Аналогично, для треугольника $\triangle ADC$ отрезок DO является высотой, проведенной к основанию AC. Его площадь равна: $S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DO$.

Теперь сложим площади двух треугольников, чтобы найти площадь ромба: $S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BO + \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DO$.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2} \cdot AC$ за скобки: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot (BO + DO)$.

Поскольку точка O является точкой пересечения диагоналей, она лежит на отрезке BD. Следовательно, сумма длин отрезков BO и DO равна длине всей диагонали BD: $BO + DO = BD$.

Подставив это равенство в предыдущую формулу, получаем окончательное выражение для площади ромба: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что площадь ромба ($S$) равна половине произведения его диагоналей ($d_1$ и $d_2$), что выражается формулой $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$.

14. Найдите площадь ромба, если его

диагонали равны 6 см и 8 см.

Для того чтобы найти площадь ромба, необходимо воспользоваться формулой, которая связывает площадь с длинами его диагоналей. Площадь ромба ($S$) равна половине произведения его диагоналей ($d_1$ и $d_2$).

Формула для вычисления площади ромба выглядит следующим образом:
$S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$

В условии задачи даны длины диагоналей:
$d_1 = 6$ см
$d_2 = 8$ см

Теперь подставим известные значения в формулу и выполним вычисления:
$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ см} \cdot 8 \text{ см}$

Выполним умножение диагоналей, а затем разделим результат на 2:
$S = \frac{48 \text{ см}^2}{2} = 24 \text{ см}^2$

Таким образом, площадь ромба составляет 24 квадратных сантиметра.

Ответ: $24 \text{ см}^2$.

15. Найдите площади четырехугольников, изображенных на рисунке 20.7. Стороны квадратных клеток равны 1.

а)

б)

Рис. 20.7

а) Четырехугольник, изображенный на рисунке а), является ромбом, так как его диагонали взаимно перпендикулярны и пересекаются в середине. Площадь ромба можно найти по формуле через его диагонали:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей.

Из рисунка видно, что стороны квадратных клеток равны 1. Найдем длины диагоналей ромба, посчитав клетки:

Первая диагональ (горизонтальная) $d_1 = 2$ единицы.

Вторая диагональ (вертикальная) $d_2 = 4$ единицы.

Теперь вычислим площадь:

$S = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4$ (квадратные единицы).

Ответ: 4.

б) Для нахождения площади четырехугольника, изображенного на рисунке б), воспользуемся формулой Пика. Эта формула позволяет найти площадь многоугольника, вершины которого находятся в узлах целочисленной решетки (в углах клеток).

Формула Пика: $S = I + \frac{B}{2} - 1$, где:

$I$ — количество целочисленных точек (узлов решетки) строго внутри многоугольника.

$B$ — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Посчитаем эти значения для фигуры на рисунке б):

1. Сначала найдем количество точек на границе ($B$). На границе четырехугольника лежат только его 4 вершины. Между вершинами на сторонах других целочисленных точек нет. Таким образом, $B = 4$.

2. Теперь посчитаем количество точек строго внутри ($I$). Внимательно посмотрим на рисунок и посчитаем узлы решетки внутри фигуры. Мы можем насчитать 7 таких точек.

Теперь подставим найденные значения в формулу Пика:

$S = 7 + \frac{4}{2} - 1 = 7 + 2 - 1 = 8$ (квадратных единиц).

Ответ: 8.

16. Попробуйте найти формулу, выражающую площадь треугольника через его сторону и высоту, проведенную к этой стороне.

Для того чтобы вывести формулу площади треугольника, воспользуемся методом достроения фигуры до параллелограмма, площадь которого нам известна. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Пусть длина его стороны $AC$ равна $a$. Проведём из вершины $B$ на сторону $AC$ высоту $BH$, длина которой равна $h$.

Теперь достроим наш треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABDC$. Для этого через вершину $B$ проведём прямую, параллельную стороне $AC$, а через вершину $C$ — прямую, параллельную стороне $AB$. Точку пересечения этих прямых обозначим как $D$.

Площадь полученного параллелограмма $ABDC$ вычисляется по формуле произведения основания на высоту. В нашем случае основание — это сторона $AC$, длина которой $a$, а высота — это перпендикуляр $BH$, длина которого $h$. Таким образом, площадь параллелограмма равна:

$S_{ABDC} = a \cdot h$

Параллелограмм $ABDC$ состоит из двух равных треугольников: $ABC$ и $DCB$ (они равны по трём сторонам: $BC$ — общая, $AB = DC$ и $AC = DB$ как противоположные стороны параллелограмма). Следовательно, площадь треугольника $ABC$ ровно в два раза меньше площади параллелограмма $ABDC$.

Таким образом, мы можем выразить площадь треугольника $S$ через площадь параллелограмма:

$S = \frac{1}{2} S_{ABDC} = \frac{1}{2} a \cdot h$

Мы получили формулу, выражающую площадь треугольника через его сторону и высоту, проведенную к этой стороне.

Ответ: Площадь треугольника ($S$) выражается через его сторону ($a$) и высоту ($h$), проведенную к этой стороне, следующей формулой: $S = \frac{1}{2} a \cdot h$.