Страница 102 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

28. Попробуйте найти формулу, выражающую площадь трапеции через ее основания и высоту.

Для того чтобы найти формулу площади трапеции, давайте определим, что такое трапеция и ее основные элементы. Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны друг другу. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Расстояние между основаниями, измеренное по перпендикуляру, называется высотой трапеции.

Обозначим длины оснований трапеции как $a$ и $b$, а ее высоту как $h$. Наша задача — вывести формулу, связывающую площадь $S$ с этими тремя величинами.

Существует несколько способов это сделать. Рассмотрим один из самых наглядных — метод деления трапеции на известные фигуры.

Способ 1: Разделение трапеции на два треугольника

Проведем в трапеции диагональ. Она разделит трапецию на два треугольника. Площадь всей трапеции будет равна сумме площадей этих двух треугольников.

Пусть у нас есть трапеция с основаниями $a$ и $b$. Проведем диагональ, которая соединяет концы разных оснований. В результате мы получим два треугольника:

1. Первый треугольник имеет основание, равное одному из оснований трапеции (например, $a$), и его высота, проведенная к этому основанию, будет равна высоте трапеции $h$. Площадь этого треугольника, согласно формуле площади треугольника (половина произведения основания на высоту), равна $S_1 = \frac{1}{2} a h$.

2. Второй треугольник имеет основание, равное второму основанию трапеции ($b$), и его высота, проведенная к этому основанию, также будет равна высоте трапеции $h$. Его площадь равна $S_2 = \frac{1}{2} b h$.

Площадь всей трапеции $S$ равна сумме площадей этих двух треугольников:

$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{2} a h + \frac{1}{2} b h$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}h$ за скобки:

$S = \frac{1}{2} h (a + b)$

Эту формулу можно записать и в таком виде:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Словесно эту формулу можно выразить так: площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. Стоит отметить, что величина $\frac{a+b}{2}$ является длиной средней линии трапеции. Таким образом, площадь трапеции также равна произведению ее средней линии на высоту.

Способ 2: Достроение до параллелограмма

Этот способ также очень нагляден. Возьмем две одинаковые трапеции. Одну из них перевернем на 180 градусов и приставим к первой трапеции боковой стороной. В результате мы получим параллелограмм. Основание этого параллелограмма будет равно сумме оснований исходной трапеции ($a+b$), а его высота будет равна высоте трапеции ($h$).

Площадь параллелограмма вычисляется как произведение его основания на высоту. В нашем случае площадь полученного параллелограмма равна $(a+b)h$.

Поскольку этот параллелограмм состоит из двух равных трапеций, площадь одной трапеции будет в два раза меньше площади параллелограмма:

$S = \frac{(a+b)h}{2}$

Оба способа приводят к одной и той же формуле.

Ответ: Формула, выражающая площадь трапеции ($S$) через ее основания ($a$ и $b$) и высоту ($h$), выглядит следующим образом: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.

1. Сформулируйте теорему о площади трапеции.

2. Как найти площадь трапеции, зная ее среднюю линию и высоту?

1. Теорема о площади трапеции гласит, что площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.
Математически это выражается формулой:
$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$
где $S$ — площадь трапеции, $a$ и $b$ — длины двух параллельных сторон (оснований), а $h$ — высота, то есть перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания к прямой, содержащей другое основание.
Ответ: Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

2. Для нахождения площади трапеции, зная её среднюю линию и высоту, следует использовать определение средней линии. Средняя линия трапеции ($m$) — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Её длина равна полусумме оснований:
$m = \frac{a + b}{2}$
Если мы подставим это выражение в формулу площади трапеции из первого пункта ($S = \frac{a + b}{2} \cdot h$), то получим новую, более простую формулу:
$S = m \cdot h$
Следовательно, чтобы найти площадь трапеции, необходимо умножить длину её средней линии на высоту.
Ответ: Площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту.