Страница 107 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Найдите площади четырехугольников, изображенных на рисунке 23.5. Стороны квадратных клеток равны 1.

а)

б)

Рис. 23.5

а)

Для нахождения площади четырехугольника, изображенного на рисунке а), можно использовать метод декомпозиции (разбиения). Разобьем данный четырехугольник на более простые фигуры, площади которых легко вычислить. Проведем из двух верхних вершин вертикальные отрезки к нижнему основанию. В результате четырехугольник разобьется на один прямоугольный треугольник слева, одну прямоугольную трапецию в центре и еще один прямоугольный треугольник справа.

1. Площадь левого треугольника. Это прямоугольный треугольник с катетами, равными 1 и 3 (поскольку стороны клеток равны 1). Его площадь $S_1$ равна:

$S_1 = \frac{1}{2} \times 1 \times 3 = 1.5$ кв. ед.

2. Площадь центральной трапеции. Это прямоугольная трапеция. Ее основания равны 3 и 2, а высота равна 1. Ее площадь $S_2$ равна:

$S_2 = \frac{3 + 2}{2} \times 1 = \frac{5}{2} = 2.5$ кв. ед.

3. Площадь правого треугольника. Это прямоугольный треугольник с катетами, равными 1 и 2. Его площадь $S_3$ равна:

$S_3 = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1$ кв. ед.

Общая площадь четырехугольника $S$ равна сумме площадей этих трех фигур:

$S = S_1 + S_2 + S_3 = 1.5 + 2.5 + 1 = 5$ кв. ед.

Другой способ — использование формулы Пика: $S = I + \frac{B}{2} - 1$, где $I$ — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а $B$ — количество целочисленных точек на его границе.Внутри фигуры 3 точки ($I=3$). На границе фигуры 6 точек ($B=6$).$S = 3 + \frac{6}{2} - 1 = 3 + 3 - 1 = 5$ кв. ед.

Ответ: 5.

б)

Данный четырехугольник является невыпуклым (вогнутым). Для нахождения его площади можно провести диагональ, которая разделит его на два треугольника. Проведем диагональ, соединяющую левую нижнюю вершину с вогнутой вершиной. В результате четырехугольник разобьется на два треугольника.

Найдем площадь каждого треугольника по отдельности. Удобно использовать метод "достроить до прямоугольника": площадь треугольника находится как разность площади описанного прямоугольника и площадей "лишних" прямоугольных треугольников по углам.

1. Площадь первого треугольника (левого). Его вершины находятся в узлах сетки. Обозначим их координаты, приняв левый нижний угол сетки за (0, 0): (1, 1), (2, 4), (3, 3).Опишем вокруг него прямоугольник с вершинами в точках (1, 1), (3, 1), (3, 4), (1, 4). Площадь этого прямоугольника $S_{rect1}$ равна $2 \times 3 = 6$ кв. ед.Площадь "лишних" прямоугольных треугольников:

• Треугольник с катетами 2 и 2: $S_{t1} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$.
• Треугольник с катетами 1 и 1: $S_{t2} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = 0.5$.
• Треугольник с катетами 1 и 3: $S_{t3} = \frac{1}{2} \times 1 \times 3 = 1.5$.

2. Площадь второго треугольника (правого). Его вершины имеют координаты: (1, 1), (3, 3), (5, 2).Опишем вокруг него прямоугольник с вершинами в точках (1, 1), (5, 1), (5, 3), (1, 3). Площадь этого прямоугольника $S_{rect2}$ равна $4 \times 2 = 8$ кв. ед.Площадь "лишних" прямоугольных треугольников:

• Треугольник с катетами 2 и 2: $S_{t4} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$.
• Треугольник с катетами 2 и 1: $S_{t5} = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$.
• Треугольник с катетами 4 и 1: $S_{t6} = \frac{1}{2} \times 4 \times 1 = 2$.

Общая площадь четырехугольника $S$ равна сумме площадей этих двух треугольников:

$S = S_1 + S_2 = 2 + 3 = 5$ кв. ед.

Другой способ — использование формулы Пика: $S = I + \frac{B}{2} - 1$.Внутри фигуры 4 точки ($I=4$). На границе фигуры 4 точки (только вершины, на сторонах нет) ($B=4$).$S = 4 + \frac{4}{2} - 1 = 4 + 2 - 1 = 5$ кв. ед.

Ответ: 5.

6. Найдите площади пятиугольников, изображенных на рисунке 23.6. Стороны квадратных клеток равны 1.

a)

б)

Рис. 23.6

а) Для нахождения площади пятиугольника, изображенного на рисунке а), можно использовать метод "дополнения до прямоугольника". Опишем вокруг пятиугольника прямоугольник, вершины которого находятся в узлах сетки, и вычтем из площади этого прямоугольника площади фигур, которые в него входят, но не принадлежат пятиугольнику.

Окружающий прямоугольник имеет стороны длиной 5 и 4 единицы (клетки). Его площадь равна $S_{прям} = 5 \times 4 = 20$ квадратных единиц.

Теперь найдем площади четырех прямоугольных треугольников, расположенных по углам этого прямоугольника:

1. Треугольник в левом верхнем углу имеет катеты длиной 3 и 3. Его площадь $S_1 = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5$.

2. Треугольник в правом верхнем углу имеет катеты длиной 2 и 1. Его площадь $S_2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$.

3. Треугольник в правом нижнем углу имеет катеты длиной 1 и 3. Его площадь $S_3 = \frac{1}{2} \times 1 \times 3 = 1.5$.

4. Треугольник в левом нижнем углу имеет катеты длиной 1 и 1. Его площадь $S_4 = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = 0.5$.

Суммарная площадь этих четырех треугольников составляет $S_{внеш} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 4.5 + 1 + 1.5 + 0.5 = 7.5$.

Площадь пятиугольника равна разности площади прямоугольника и суммарной площади внешних треугольников: $S_{пятиуг} = S_{прям} - S_{внеш} = 20 - 7.5 = 12.5$.

Ответ: 12.5

б) Для нахождения площади вогнутого пятиугольника на рисунке б) удобно разбить его на более простые фигуры, например, на три треугольника. Введем систему координат, приняв за начало отсчета левый нижний угол сетки. Вершины пятиугольника будут иметь следующие координаты (в порядке обхода по часовой стрелке, начиная с верхней): $V_1(2, 4)$, $V_2(3, 3)$, $V_3(4, 0)$, $V_4(0, 1)$ и $V_5(1, 3)$.

Разделим пятиугольник на три треугольника, проведя отрезки из вершины $V_3$ к вершинам $V_5$ и $V_1$: $\triangle V_3V_4V_5$, $\triangle V_3V_5V_1$ и $\triangle V_3V_1V_2$. Площадь пятиугольника будет равна сумме площадей этих трех треугольников: $S_{пятиуг} = S_{\triangle V_3V_4V_5} + S_{\triangle V_3V_5V_1} + S_{\triangle V_3V_1V_2}$.

Найдем площадь каждого треугольника, используя метод "дополнения до прямоугольника":

1. Для $\triangle V_3(4,0)V_4(0,1)V_5(1,3)$: опишем прямоугольник с вершинами в точках (0,0), (4,0), (4,3), (0,3). Его площадь $4 \times 3 = 12$. Площадь треугольника равна площади прямоугольника минус площади трех внешних прямоугольных треугольников: $S_{\triangle V_3V_4V_5} = 12 - (\frac{1}{2} \times 4 \times 1) - (\frac{1}{2} \times 1 \times 2) - (\frac{1}{2} \times 3 \times 3) = 12 - 2 - 1 - 4.5 = 4.5$.

2. Для $\triangle V_3(4,0)V_5(1,3)V_1(2,4)$: опишем прямоугольник с вершинами в точках (1,0), (4,0), (4,4), (1,4). Его площадь $3 \times 4 = 12$. Площадь треугольника равна площади прямоугольника минус площади трех внешних прямоугольных треугольников: $S_{\triangle V_3V_5V_1} = 12 - (\frac{1}{2} \times 3 \times 3) - (\frac{1}{2} \times 1 \times 1) - (\frac{1}{2} \times 2 \times 4) = 12 - 4.5 - 0.5 - 4 = 3$.

3. Для $\triangle V_3(4,0)V_1(2,4)V_2(3,3)$: его площадь можно найти как разность площадей трапеций под его сторонами. Площадь под отрезком $V_1V_2$ - это трапеция с основаниями 4 и 3 и высотой 1, ее площадь $S_{12} = \frac{4+3}{2} \times 1 = 3.5$. Площадь под отрезком $V_2V_3$ - это треугольник с основанием 1 и высотой 3, его площадь $S_{23} = \frac{1}{2} \times 1 \times 3 = 1.5$. Площадь под отрезком $V_1V_3$ - это треугольник с основанием 2 и высотой 4, его площадь $S_{13} = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4$. Площадь искомого треугольника: $S_{\triangle V_3V_1V_2} = S_{12} + S_{23} - S_{13} = 3.5 + 1.5 - 4 = 1$.

Суммарная площадь пятиугольника: $S_{пятиуг} = 4.5 + 3 + 1 = 8.5$.

Ответ: 8.5

7. Диагонали выпуклого четырехугольника равны 8 и 10. Какую наибольшую площадь может иметь этот четырехугольник?

Площадь выпуклого четырехугольника можно вычислить по формуле через его диагонали и угол между ними:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\alpha)$

где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, а $\alpha$ — угол между ними.

В условии задачи даны длины диагоналей: $d_1 = 8$ и $d_2 = 10$. Подставим эти значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin(\alpha)$

$S = 40 \cdot \sin(\alpha)$

Чтобы площадь $S$ была наибольшей, значение выражения $\sin(\alpha)$ должно быть максимальным, так как множитель 40 является константой.

Максимальное значение функции синуса равно 1. Это значение достигается, когда угол $\alpha$ равен $90^\circ$.

$\sin(\alpha)_{max} = \sin(90^\circ) = 1$

Следовательно, наибольшая площадь четырехугольника будет, когда его диагонали перпендикулярны друг другу.

Вычислим эту максимальную площадь:

$S_{max} = 40 \cdot 1 = 40$

Ответ: 40