Страница 110 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Разрежьте квадрат (рис. 24.3) на четыре равных:

а) квадрата;

б) треугольника.

Рис. 24.3

а) Чтобы разрезать квадрат на четыре равных квадрата, нужно разделить его на части равной площади. Исходный квадрат, изображенный на клетчатой бумаге, имеет сторону равную 4 клеткам. Его площадь составляет $S = 4 \times 4 = 16$ квадратных клеток. Если разделить его на четыре равных квадрата, то площадь каждого малого квадрата будет $16 / 4 = 4$ квадратных клетки. Сторона такого квадрата равна $\sqrt{4} = 2$ клетки.

Для этого необходимо провести два отрезка:

1. Вертикальный отрезок через середину квадрата, который соединяет середины его верхней и нижней сторон.

2. Горизонтальный отрезок через середину квадрата, который соединяет середины его левой и правой сторон.

Эти два отрезка пересекутся в центре исходного квадрата и разделят его на четыре равных квадрата со стороной 2 клетки.

Ответ: Исходный квадрат разрезается на четыре равных квадрата со стороной 2 клетки каждый путем проведения двух перпендикулярных отрезков через его центр, параллельных его сторонам.

б) Чтобы разрезать квадрат на четыре равных треугольника, достаточно провести две его диагонали. Диагонали – это отрезки, которые соединяют противоположные вершины квадрата.

Площадь исходного квадрата $S = 16$ квадратных клеток. При делении на четыре равные части, площадь каждой части должна быть $16 / 4 = 4$ квадратных клетки.

Диагонали делят квадрат на четыре одинаковых (конгруэнтных) равнобедренных треугольника. Вершинами каждого такого треугольника являются центр квадрата и две соседние вершины исходного квадрата. Площадь каждого из них равна четверти площади квадрата, то есть $16 / 4 = 4$ кв. клетки.

Для этого нужно провести два отрезка:

1. Диагональ, соединяющую левый верхний и правый нижний углы квадрата.

2. Диагональ, соединяющую правый верхний и левый нижний углы квадрата.

Ответ: Исходный квадрат разрезается на четыре равных треугольника путем проведения двух его диагоналей.

2. Разрежьте параллелограмм (рис. 24.4) на:

а) два;

б) четыре равновеликих треугольника.

Рис. 24.4

а) Равновеликими называются фигуры, имеющие равные площади. Чтобы разрезать параллелограмм на два равновеликих треугольника, достаточно провести любую из его диагоналей. Диагональ делит параллелограмм на два конгруэнтных (то есть равных по всем параметрам) треугольника. Так как фигуры равны, то их площади также равны. Если площадь параллелограмма равна $S$, то площадь каждого из двух полученных треугольников будет равна $S_{\text{тр}} = S/2$.
Ответ: Необходимо провести одну диагональ, то есть отрезок, соединяющий две противолежащие вершины параллелограмма.

б) Чтобы разрезать параллелограмм на четыре равновеликих треугольника, необходимо провести обе его диагонали. Пусть диагонали пересекаются в точке О. По свойству параллелограмма, диагонали в точке пересечения делятся пополам, то есть точка О является серединой каждой из диагоналей.
Проведение двух диагоналей делит параллелограмм на четыре треугольника. Докажем, что их площади равны.
1. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Отрезок $BO$ является его медианой, так как О — середина стороны $AC$. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, поэтому площадь $\triangle AOB$ равна площади $\triangle COB$.
2. Аналогично, в треугольнике $\triangle ADC$ отрезок $DO$ является медианой (поскольку О — середина $AC$), поэтому площадь $\triangle AOD$ равна площади $\triangle COD$.
3. Диагональ $AC$ делит параллелограмм на два равновеликих треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Следовательно, $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADC}$.
Это означает, что $S_{\triangle AOB} + S_{\triangle COB} = S_{\triangle AOD} + S_{\triangle COD}$.
Так как $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COB}$ и $S_{\triangle AOD} = S_{\triangle COD}$, мы можем записать это как $2 \cdot S_{\triangle AOB} = 2 \cdot S_{\triangle AOD}$, откуда следует, что $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AOD}$.
Таким образом, площади всех четырех треугольников равны между собой: $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COB} = S_{\triangle AOD} = S_{\triangle COD}$. Каждый из них имеет площадь, равную $S/4$.
Ответ: Необходимо провести обе диагонали параллелограмма. В результате образуются четыре треугольника с общей вершиной в точке пересечения диагоналей, и эти треугольники будут равновеликими.

3. Разрежьте прямоугольник (рис. 24.5) на две части, из которых можно сложить треугольник.

Рис. 24.5

Для того чтобы из прямоугольника сложить треугольник, необходимо выполнить разрез и последующую перестановку частей. Весь процесс можно разбить на два этапа: разрез и сборка.

Сначала определим размеры фигур. Прямоугольник на рисунке имеет стороны, равные 4 и 2 условным единицам (сторонам клетки). Его площадь $S_{прямоугольника}$ равна $4 \times 2 = 8$ квадратных единиц. Треугольник, который мы хотим получить, должен состоять из тех же частей, поэтому его площадь $S_{треугольника}$ также будет равна 8. Формула площади треугольника — $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание, а $h$ — высота. Это означает, что для нашего будущего треугольника произведение основания на высоту должно быть равно $a \cdot h = 16$.

Разрез

Выполним один прямой разрез по диагонали прямоугольника, соединив два противоположных угла, например, левый верхний и правый нижний. В результате этого действия прямоугольник разделится на две полностью одинаковые (конгруэнтные) части. Каждая часть будет представлять собой прямоугольный треугольник, катеты которого равны сторонам исходного прямоугольника, то есть 2 и 4.

Сборка

Теперь необходимо правильно сложить полученные два прямоугольных треугольника. Возьмем оба треугольника и приложим их друг к другу теми сторонами, которые являются короткими катетами (длиной 2). Чтобы их гипотенузы образовали боковые стороны нового треугольника, один из прямоугольных треугольников нужно зеркально отразить относительно общего катета.

В результате получится одна цельная фигура — равнобедренный треугольник. Его основание будет сложено из двух длинных катетов (длиной 4) и будет равно $4 + 4 = 8$. Высота этого треугольника будет равна длине короткого катета, то есть 2. Проверим площадь полученного треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2 = 8$ квадратных единиц, что соответствует площади исходного прямоугольника. Таким образом, задача решена верно.

Ответ: Прямоугольник необходимо разрезать по одной из диагоналей. Получится два одинаковых прямоугольных треугольника с катетами 2 и 4. Затем эти два треугольника нужно приложить друг к другу их катетами длиной 2 так, чтобы их катеты длиной 4 образовали одну прямую линию. В результате будет сложен равнобедренный треугольник с основанием 8 и высотой 2.

4. Разрежьте шестиугольник (рис. 24.6) на две равные трапеции, из которых можно сложить параллелограмм.

Рис. 24.6

Для решения задачи необходимо выполнить два шага: разрезать исходный шестиугольник на две равные трапеции и затем сложить из этих трапеций параллелограмм.

1. Разрез шестиугольника

Исходный шестиугольник обладает центральной симметрией. Чтобы разделить его на две равные части, нужно провести разрез через центр симметрии. Проведем вертикальный разрез по оси симметрии фигуры. Этот разрез соединяет середины верхней и нижней граней воображаемого прямоугольника, в который вписан шестиугольник.

В результате разреза мы получаем две равные (конгруэнтные) трапеции. У каждой из этих трапеций две стороны являются вертикальными и, следовательно, параллельными друг другу.

2. Сборка параллелограмма

Теперь из полученных двух трапеций нужно сложить параллелограмм. Для этого возьмем правую трапецию (синюю) и переместим ее так, чтобы ее нижняя наклонная сторона совместилась с верхней наклонной стороной левой трапеции (красной). Эти стороны равны по длине и параллельны, что позволяет их совместить без зазоров и наложений.

В результате такого совмещения получается новая фигура. Проверим, является ли она параллелограммом. У получившейся фигуры есть две вертикальные противоположные стороны, которые параллельны друг другу. Две другие противоположные стороны также параллельны, так как они образованы двумя сторонами исходных трапеций, имевшими одинаковый наклон (их угловой коэффициент $k = -0.5$). Поскольку у фигуры противоположные стороны попарно параллельны, она является параллелограммом.

Ответ:
Необходимо разрезать шестиугольник по вертикальной оси симметрии, а затем приставить правую трапецию к левой, совместив их соответствующие наклонные стороны, как показано на рисунке.

5. Параллелограмм (рис. 24.7) разрежьте на две части, из которых можно сложить прямоугольник.

Рис. 24.7

Для того чтобы преобразовать параллелограмм в прямоугольник, необходимо произвести разрез, который позволит "выпрямить" наклонные стороны. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = a \cdot h$, где $a$ — это длина основания, а $h$ — высота. Прямоугольник, который мы получим в результате, будет иметь стороны, равные основанию и высоте исходного параллелограмма, и, следовательно, ту же площадь.

Рассмотрим параллелограмм, изображенный на клетчатой бумаге. Мы можем принять его горизонтальную сторону за основание. Длина основания $a$ равна 2 клеткам. Высота $h$, то есть перпендикулярное расстояние между верхним и нижним основаниями, равна 3 клеткам.

Решение задачи состоит из двух шагов: разрезание и перестановка.

1. Разрез. Необходимо провести разрез по линии высоты параллелограмма. Удобнее всего провести его из одной из верхних вершин перпендикулярно основанию. Проведем вертикальный разрез из левой верхней вершины вниз до пересечения с нижним основанием. Этот разрез разделит параллелограмм на две части: прямоугольный треугольник (слева) и трапецию (справа).

2. Перестановка. Теперь нужно переместить полученный прямоугольный треугольник и приставить его к другой стороне трапеции. Мы берем треугольник, отрезанный слева, и перемещаем его направо. Приставляем его к трапеции так, чтобы катет треугольника, который лежал на нижнем основании, стал продолжением нижнего основания трапеции. В результате две наклонные стороны (гипотенуза треугольника и боковая сторона трапеции) окажутся соединенными внутри новой фигуры, а вертикальные стороны (линия разреза) образуют левую и правую стороны прямоугольника.

В итоге мы получим прямоугольник, ширина которого равна основанию параллелограмма (2 клетки), а высота — высоте параллелограмма (3 клетки).

Ответ: Нужно разрезать параллелограмм по высоте, опущенной из одной из верхних вершин на противолежащее основание. Затем полученный при разрезе прямоугольный треугольник следует приставить к другой стороне оставшейся части (трапеции) таким образом, чтобы их основания составили одну прямую линию. В результате будет сложен прямоугольник.

6. Треугольник (рис. 24.8) разрежьте на две части, из которых можно сложить параллелограмм.

Рис. 24.8

Чтобы разрезать треугольник на две части, из которых можно сложить параллелограмм, необходимо выполнить разрез по средней линии треугольника, а затем повернуть одну из частей.

1. Сначала определим линию разреза. Найдём середины двух наклонных (боковых) сторон треугольника. Соединив эти две точки отрезком, мы получим среднюю линию треугольника. Эта линия будет параллельна основанию треугольника и равна его половине. Разрез нужно сделать именно по этой средней линии. На рисунке, представленном в задаче, высота треугольника равна 3 клеткам, поэтому средняя линия будет проходить на высоте $1.5$ клетки от основания.

В результате такого разреза исходный треугольник разделится на две части:

• Маленький треугольник вверху.
• Трапеция внизу.

2. Теперь выполним преобразование и сборку. Возьмём верхний маленький треугольник и повернём его на $180^\circ$ вокруг одной из его вершин, которая лежит на линии разреза (эта вершина также является серединой боковой стороны исходного треугольника). Для определённости, выберем правую вершину на линии разреза.

После поворота на $180^\circ$ произойдёт следующее:

• Вершина маленького треугольника, которая была общей с исходным треугольником (верхняя вершина), совпадёт с правой вершиной основания исходного треугольника.
• Сторона маленького треугольника, лежавшая на правой боковой стороне исходного треугольника, совместится с нижней частью этой же стороны, которая принадлежит трапеции.

Таким образом, повёрнутый треугольник идеально примкнёт к трапеции, и вместе они образуют новую фигуру — параллелограмм. Основание этого параллелограмма будет равно основанию исходного треугольника, а его высота будет вдвое меньше высоты исходного треугольника.

Ответ: Треугольник следует разрезать по средней линии, параллельной основанию. После этого верхнюю часть (маленький треугольник) нужно повернуть на $180^\circ$ вокруг её вершины, являющейся серединой одной из боковых сторон исходного треугольника, и приложить к нижней части (трапеции).