Страница 111 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Трапецию (рис. 24.9) разрежьте на две части, из которых можно сложить треугольник.

Рис. 24.9

Для решения задачи проанализируем трапецию, изображенную на рис. 24.9. Примем сторону клетки сетки за единицу длины. Тогда верхнее (меньшее) основание трапеции равно $a=2$, нижнее (большее) основание равно $b=5$, а высота равна $h=3$. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$. Для данной трапеции площадь составляет $S = \frac{2+5}{2} \cdot 3 = \frac{7}{2} \cdot 3 = 10.5$ квадратных единиц. Наша цель — разрезать трапецию на две части, из которых можно сложить треугольник с такой же площадью.

Чтобы получить треугольник, необходимо выполнить один прямолинейный разрез. Правильный способ разрезания заключается в том, чтобы соединить одну из вершин меньшего основания с серединой противоположной ей непараллельной (боковой) стороны. Давайте для определенности введем систему координат. Пусть вершины трапеции имеют координаты: нижние — $(0,0)$ и $(5,0)$, а верхние — $(1,3)$ и $(3,3)$.

Выберем левую верхнюю вершину с координатами $(1,3)$. Противоположная ей боковая сторона соединяет вершины $(3,3)$ и $(5,0)$. Найдем середину этой стороны, точку $M$. Ее координаты равны полусумме координат концов отрезка: $M = \left(\frac{3+5}{2}, \frac{3+0}{2}\right) = (4, 1.5)$. Таким образом, разрез следует произвести по прямой, соединяющей точку $(1,3)$ и точку $(4, 1.5)$.

Этот разрез делит трапецию на две части: маленький треугольник (с вершинами $(1,3)$, $(3,3)$, $(4,1.5)$) и четырехугольник. Чтобы сложить из этих двух частей один большой треугольник, нужно маленький треугольник повернуть на $180^\circ$ вокруг его вершины $M(4, 1.5)$, которая является точкой разреза. При таком повороте вершина $(3,3)$ переместится в точку $(5,0)$, совместившись с вершиной исходной трапеции. Вершина $(1,3)$ переместится в новую точку с координатами $(2 \cdot 4 - 1, 2 \cdot 1.5 - 3) = (7,0)$.

В результате мы получим новый треугольник. Его вершинами будут: $(0,0)$, $(1,3)$ и новая вершина $(7,0)$. Основание этого треугольника будет лежать на горизонтальной оси, его длина составит $7 - 0 = 7$ единиц. Высота треугольника, опущенная из вершины $(1,3)$ на основание, будет равна $3$ единицам. Площадь полученного треугольника равна $S_{треуг} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 3 = 10.5$ квадратных единиц, что в точности равно площади исходной трапеции. Аналогичного результата можно добиться, если провести разрез от правой верхней вершины к середине левой боковой стороны.

Ответ: Необходимо провести разрез от одной из вершин верхнего (меньшего) основания трапеции до середины противоположной боковой стороны. Из полученных двух частей можно сложить треугольник.

8. Трапецию (рис. 24.10) разрежьте на две части, из которых можно сложить параллелограмм.

Рис. 24.10

Для того чтобы разрезать трапецию на две части и сложить из них параллелограмм, необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти середины непараллельных (боковых) сторон трапеции. На изображении трапеция вписана в сетку. Пусть одна клетка сетки равна 1 единице. Тогда вершины трапеции имеют следующие координаты, если принять левый нижний угол за начало координат (0,0): нижнее основание находится на оси X от 0 до 6, а верхнее — на высоте 4. Вершины: D(0,0), C(6,0), B(4,4), A(2,4).

- Боковая сторона AD соединяет точки D(0,0) и A(2,4). Её середина, точка M, имеет координаты $M = (\frac{0+2}{2}, \frac{0+4}{2}) = (1, 2)$.

- Боковая сторона BC соединяет точки B(4,4) и C(6,0). Её середина, точка N, имеет координаты $N = (\frac{4+6}{2}, \frac{4+0}{2}) = (5, 2)$.

2. Провести разрез по прямой, соединяющей эти две середины, то есть по отрезку MN. Этот отрезок является средней линией трапеции. В результате трапеция разделится на две меньшие трапеции: верхнюю ABNM и нижнюю MNCD.

3. Взять верхнюю трапецию ABNM и повернуть её на 180° вокруг точки N. В результате такого преобразования:

- Точка B перейдёт в точку C (так как N — середина отрезка BC).

- Отрезок BN (часть боковой стороны) верхней трапеции совпадёт с отрезком CN нижней трапеции.

- Верхнее основание AB перейдёт в отрезок CA', параллельный и равный ему.

- Боковая сторона AM перейдёт в отрезок A'M'.

4. Приложить повернутую трапецию к нижней. Новая фигура будет параллелограммом. Его нижнее основание будет состоять из отрезков DC и CA', и его длина будет равна сумме оснований исходной трапеции ($b+a$). Верхнее основание будет состоять из отрезков MN и NM' и будет иметь ту же длину. Боковые стороны DM и A'M' будут параллельны и равны. Таким образом, из двух частей трапеции будет сложен параллелограмм.

Ответ: Необходимо разрезать трапецию по её средней линии (отрезок, соединяющий середины боковых сторон). Затем одну из получившихся частей (например, верхнюю) нужно повернуть на 180° вокруг одной из вершин на линии разреза и приложить к другой части.

9. Трапецию (рис. 24.10) разрежьте на три части, из которых можно сложить прямоугольник.

Рис. 24.10

Чтобы разрезать трапецию на три части, из которых можно сложить прямоугольник, необходимо выполнить следующие действия. Примем сторону одной клетки на рисунке за единицу. Тогда трапеция имеет высоту $h=3$, длину верхнего основания $a=2$ и длину нижнего основания $b=6$.

Сначала нужно сделать два разреза. Для этого находим середины обеих боковых (непараллельных) сторон трапеции. Каждая середина находится на высоте $h/2 = 1.5$ единиц от нижнего основания. От этих точек (середин боковых сторон) опускаем перпендикуляры к нижнему основанию. В результате этих двух разрезов трапеция разделяется на три части:
1. Центральная часть в виде шестиугольника.
2. Два одинаковых прямоугольных треугольника по краям.

Далее, для сборки прямоугольника, берём каждый из отрезанных треугольников, поворачиваем его на 180° и приставляем к верхней части соответствующей боковой стороны. Треугольники идеально заполнят пустые пространства у верхнего основания, в результате чего наклонные стороны трапеции превратятся в вертикальные стороны прямоугольника.

Полученная фигура будет являться прямоугольником. Его высота будет равна высоте исходной трапеции, то есть $h=3$. Ширина прямоугольника будет равна средней линии трапеции: $m = (a+b)/2 = (2+6)/2 = 4$.

Наглядно процесс показан на схеме ниже: слева — трапеция с линиями разреза, справа — сложенный из трёх частей прямоугольник.

Ответ: Нужно сделать два разреза от середин боковых сторон трапеции перпендикулярно её нижнему основанию. Полученные два маленьких треугольника следует повернуть на 180° и приставить к верхним частям соответствующих боковых сторон, чтобы сформировать прямоугольник.

10. Через вершину $C$ треугольника $ABC$ (рис. 24.11) проведите прямую, делящую этот треугольник на две равновеликие части.

Рис. 24.11

Чтобы разделить треугольник на две равновеликие (то есть равные по площади) части прямой, проходящей через одну из его вершин, необходимо провести медиану из этой вершины. Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны.

Докажем это. Пусть в треугольнике $ABC$ проведена медиана $CM$ к стороне $AB$. Это означает, что точка $M$ — середина стороны $AB$, и, следовательно, $AM = MB$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание, а $h$ — высота, проведенная к нему. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AB$. Эта высота будет общей для двух треугольников, на которые медиана $CM$ разделила исходный треугольник: $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$.

Площадь треугольника $AMC$ равна $S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot CH$.

Площадь треугольника $BMC$ равна $S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot CH$.

Так как по определению медианы $AM = BM$, а высота $CH$ у треугольников общая, то их площади равны: $S_{AMC} = S_{BMC}$.

Таким образом, для решения задачи необходимо провести медиану из вершины $C$ к стороне $AB$.

Рассмотрим треугольник $ABC$ на рисунке. Сторона $AB$ расположена на горизонтальной линии сетки. Длина стороны $AB$ составляет 4 единичных отрезка (4 клетки). Чтобы найти середину стороны $AB$, нужно отступить от точки $A$ (или $B$) 2 клетки вдоль этой стороны. Обозначим эту середину точкой $M$.

Искомая прямая — это отрезок, соединяющий вершину $C$ с точкой $M$.

Ответ: Искомая прямая — это медиана треугольника $ABC$, проведенная из вершины $C$. Для ее построения необходимо найти середину стороны $AB$ и соединить ее с вершиной $C$.

11. Через точку $E$ проведите прямую, делящую квадрат $ABCD$ (рис. 24.12) на две равновеликие части.

Рис. 24.12

Для решения этой задачи используется ключевое свойство центрально-симметричных фигур: любая прямая, проходящая через центр симметрии фигуры, делит ее площадь на две равные (равновеликие) части. Квадрат является такой фигурой, и его центр симметрии находится в точке пересечения диагоналей.

Таким образом, чтобы разделить квадрат $ABCD$ на две равновеликие части прямой, проходящей через точку $E$, необходимо, чтобы эта прямая также прошла через центр квадрата.

1. Нахождение центра квадрата

Введем систему координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат $A(0, 0)$. Поскольку сторона квадрата по сетке равна 4 единицам, координаты остальных вершин будут: $B(4, 0)$, $C(4, 4)$ и $D(0, 4)$.Центр квадрата $O$ является серединой его диагоналей, например, диагонали $AC$. Найдем координаты точки $O$ по формуле середины отрезка:

$x_O = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{0 + 4}{2} = 2$

$y_O = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{0 + 4}{2} = 2$

Следовательно, центр квадрата — точка $O(2, 2)$.

2. Нахождение координат точки E

Точка $E$ расположена на верхней стороне квадрата $DC$. Из рисунка видно, что она находится посередине стороны $DC$, на расстоянии 2 единиц от точки $D$. Координаты точки $E$:

$x_E = x_D + 2 = 0 + 2 = 2$

$y_E = 4$

Таким образом, точка $E$ имеет координаты $(2, 4)$.

3. Построение искомой прямой

Искомая прямая должна проходить через две точки: заданную точку $E(2, 4)$ и центр квадрата $O(2, 2)$.Поскольку у обеих точек $E$ и $O$ абсциссы (координаты $x$) равны 2, то прямая, проходящая через них, является вертикальной. Уравнение этой прямой: $x = 2$.

4. Проверка результата

Прямая $x = 2$ проходит через точку $E(2, 4)$ на стороне $DC$ и пересекает противоположную сторону $AB$ в точке $F$. Координаты точки $F$ будут $(2, 0)$, так как она лежит на прямой $x=2$ и на стороне $AB$ (где $y=0$).Эта прямая делит квадрат $ABCD$ на два прямоугольника:

• Прямоугольник $AFED$ с вершинами в точках $A(0,0)$, $F(2,0)$, $E(2,4)$ и $D(0,4)$. Его ширина $AF = 2$, высота $AD = 4$. Площадь $S_{AFED} = 2 \times 4 = 8$.
• Прямоугольник $FBCE$ с вершинами в точках $F(2,0)$, $B(4,0)$, $C(4,4)$ и $E(2,4)$. Его ширина $FB = 4 - 2 = 2$, высота $BC = 4$. Площадь $S_{FBCE} = 2 \times 4 = 8$.

Площадь всего квадрата $ABCD$ равна $4 \times 4 = 16$. Каждая из полученных частей имеет площадь $8$, что составляет половину от общей площади. Следовательно, построенная прямая делит квадрат на две равновеликие части.

Ответ: Чтобы провести искомую прямую, необходимо найти центр симметрии квадрата $O$ (точку пересечения его диагоналей) и провести прямую через точку $E$ и центр $O$. В данном конкретном случае точка $E$ является серединой стороны $DC$, поэтому искомая прямая соединит середину стороны $DC$ (точку $E$) с серединой противоположной стороны $AB$.

12. Через точку $E$ проведите прямую, делящую параллелограмм $ABCD$ (рис. 24.13) на две равновеликие части.

Рис. 24.13

Любая прямая, проходящая через центр симметрии фигуры, делит эту фигуру на две равновеликие (равные по площади) части. Для параллелограмма центром симметрии является точка пересечения его диагоналей.

Таким образом, чтобы провести прямую, делящую параллелограмм $ABCD$ на две равновеликие части, необходимо, чтобы эта прямая прошла через его центр. Поскольку по условию прямая должна также проходить через точку $E$, искомая прямая — это прямая, соединяющая точку $E$ с центром параллелограмма.

Алгоритм построения:

1. Находим центр параллелограмма. Для этого проводим его диагонали $AC$ и $BD$. Точку их пересечения обозначаем $O$. Эта точка $O$ и является центром симметрии параллелограмма.

2. Проводим прямую через заданную точку $E$ и найденный центр $O$.

3. Эта прямая пересечет сторону $AB$, противоположную стороне $CD$, в некоторой точке $F$. Отрезок $EF$ — искомая линия.

Ответ: Необходимо найти точку пересечения диагоналей параллелограмма ($O$) и провести прямую через точки $E$ и $O$. Эта прямая и будет делить параллелограмм на две равновеликие части.