Номер 11, страница 111 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Через точку $E$ проведите прямую, делящую квадрат $ABCD$ (рис. 24.12) на две равновеликие части.

Рис. 24.12

Для решения этой задачи используется ключевое свойство центрально-симметричных фигур: любая прямая, проходящая через центр симметрии фигуры, делит ее площадь на две равные (равновеликие) части. Квадрат является такой фигурой, и его центр симметрии находится в точке пересечения диагоналей.

Таким образом, чтобы разделить квадрат $ABCD$ на две равновеликие части прямой, проходящей через точку $E$, необходимо, чтобы эта прямая также прошла через центр квадрата.

1. Нахождение центра квадрата

Введем систему координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат $A(0, 0)$. Поскольку сторона квадрата по сетке равна 4 единицам, координаты остальных вершин будут: $B(4, 0)$, $C(4, 4)$ и $D(0, 4)$.Центр квадрата $O$ является серединой его диагоналей, например, диагонали $AC$. Найдем координаты точки $O$ по формуле середины отрезка:

$x_O = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{0 + 4}{2} = 2$

$y_O = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{0 + 4}{2} = 2$

Следовательно, центр квадрата — точка $O(2, 2)$.

2. Нахождение координат точки E

Точка $E$ расположена на верхней стороне квадрата $DC$. Из рисунка видно, что она находится посередине стороны $DC$, на расстоянии 2 единиц от точки $D$. Координаты точки $E$:

$x_E = x_D + 2 = 0 + 2 = 2$

$y_E = 4$

Таким образом, точка $E$ имеет координаты $(2, 4)$.

3. Построение искомой прямой

Искомая прямая должна проходить через две точки: заданную точку $E(2, 4)$ и центр квадрата $O(2, 2)$.Поскольку у обеих точек $E$ и $O$ абсциссы (координаты $x$) равны 2, то прямая, проходящая через них, является вертикальной. Уравнение этой прямой: $x = 2$.

4. Проверка результата

Прямая $x = 2$ проходит через точку $E(2, 4)$ на стороне $DC$ и пересекает противоположную сторону $AB$ в точке $F$. Координаты точки $F$ будут $(2, 0)$, так как она лежит на прямой $x=2$ и на стороне $AB$ (где $y=0$).Эта прямая делит квадрат $ABCD$ на два прямоугольника:

• Прямоугольник $AFED$ с вершинами в точках $A(0,0)$, $F(2,0)$, $E(2,4)$ и $D(0,4)$. Его ширина $AF = 2$, высота $AD = 4$. Площадь $S_{AFED} = 2 \times 4 = 8$.
• Прямоугольник $FBCE$ с вершинами в точках $F(2,0)$, $B(4,0)$, $C(4,4)$ и $E(2,4)$. Его ширина $FB = 4 - 2 = 2$, высота $BC = 4$. Площадь $S_{FBCE} = 2 \times 4 = 8$.

Площадь всего квадрата $ABCD$ равна $4 \times 4 = 16$. Каждая из полученных частей имеет площадь $8$, что составляет половину от общей площади. Следовательно, построенная прямая делит квадрат на две равновеликие части.

Ответ: Чтобы провести искомую прямую, необходимо найти центр симметрии квадрата $O$ (точку пересечения его диагоналей) и провести прямую через точку $E$ и центр $O$. В данном конкретном случае точка $E$ является серединой стороны $DC$, поэтому искомая прямая соединит середину стороны $DC$ (точку $E$) с серединой противоположной стороны $AB$.