Номер 14, страница 112 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Используя разрезания, показанные на рисунке 24.15 пунктиром, докажите, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению его наибольшей и наименьшей диагоналей.

Рис. 24.15

Для доказательства утверждения мы воспользуемся разрезанием правильного восьмиугольника, показанным на рисунке, чтобы вычислить его площадь. Затем мы вычислим произведение длин его наибольшей и наименьшей диагоналей и сравним полученные результаты.

Пусть сторона правильного восьмиугольника равна $a$. Все внутренние углы правильного восьмиугольника равны $135^\circ$.

1. Вычисление площади восьмиугольника с помощью разрезания.

Разрежем восьмиугольник, как показано на рисунке, на центральный прямоугольник и два одинаковых равнобедренных трапеции по бокам (если ориентировать восьмиугольник так, чтобы две его стороны были вертикальны) или сверху и снизу (как на рисунке). Для удобства будем считать, что разрезы создают центральный прямоугольник и две трапеции сверху и снизу.

Рассмотрим одну из трапеций. Ее боковые стороны равны стороне восьмиугольника $a$, а один из углов при основании равен $135^\circ$. Меньшее основание трапеции также равно $a$.

Найдем высоту трапеции $h$ и длину ее большего основания $d$. Проведем высоту из вершины при меньшем основании. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой $a$ и острыми углами $45^\circ$ (поскольку $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$).

Высота трапеции $h$ равна катету этого треугольника: $h = a \cdot \sin(45^\circ) = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

Второй катет также равен $h$. Большее основание трапеции $d$ длиннее меньшего основания на два таких катета: $d = a + 2h = a + 2 \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} = a + a\sqrt{2} = a(1+\sqrt{2})$.

Теперь мы можем вычислить площади частей:

• Центральный прямоугольник имеет стороны $a$ и $d$. Его площадь: $S_{прям} = a \cdot d = a \cdot a(1+\sqrt{2}) = a^2(1+\sqrt{2})$.
• Площадь одной трапеции: $S_{трап} = \frac{a+d}{2} \cdot h = \frac{a+a(1+\sqrt{2})}{2} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a(2+\sqrt{2})}{2} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a^2(2+\sqrt{2})}{2\sqrt{2}} = \frac{a^2(2\sqrt{2}+2)}{4} = \frac{a^2(\sqrt{2}+1)}{2}$.

Площадь всего восьмиугольника равна сумме площади прямоугольника и площадей двух трапеций:

$S_{восьм} = S_{прям} + 2S_{трап} = a^2(1+\sqrt{2}) + 2 \cdot \frac{a^2(\sqrt{2}+1)}{2} = a^2(1+\sqrt{2}) + a^2(1+\sqrt{2}) = 2a^2(1+\sqrt{2})$.

2. Вычисление произведения наибольшей и наименьшей диагоналей.

В правильном восьмиугольнике есть три типа диагоналей разной длины.

• Наименьшая диагональ ($D_{min}$) соединяет две вершины через одну.
• Наибольшая диагональ ($D_{max}$) соединяет две противоположные вершины.

Для удобства вычислений воспользуемся радиусом $R$ описанной окружности восьмиугольника.

Наибольшая диагональ проходит через центр окружности, поэтому ее длина $D_{max} = 2R$.

Наименьшая диагональ является основанием равнобедренного треугольника, образованного двумя радиусами $R$ и центральным углом, равным $2 \cdot \frac{360^\circ}{8} = 90^\circ$. По теореме Пифагора:$D_{min}^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$, откуда $D_{min} = R\sqrt{2}$.

Произведение диагоналей равно:$P = D_{max} \cdot D_{min} = (2R) \cdot (R\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}R^2$.

Теперь выразим площадь восьмиугольника через $R$. Восьмиугольник состоит из 8 одинаковых равнобедренных треугольников с боковыми сторонами $R$ и углом между ними $45^\circ$.$S_{восьм} = 8 \cdot (\frac{1}{2} R^2 \sin(45^\circ)) = 4R^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}R^2$.

3. Сравнение результатов.

Мы получили, что площадь восьмиугольника $S_{восьм} = 2\sqrt{2}R^2$ и произведение его наибольшей и наименьшей диагоналей $P = 2\sqrt{2}R^2$.

Следовательно, $S_{восьм} = P$.

Таким образом, мы доказали, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению его наибольшей и наименьшей диагоналей.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь правильного восьмиугольника, вычисленная с помощью разрезания на центральный прямоугольник и две трапеции, равна $2a^2(1+\sqrt{2})$. Произведение наибольшей и наименьшей диагоналей также равно $2a^2(1+\sqrt{2})$ (что эквивалентно $2\sqrt{2}R^2$), что и доказывает исходное утверждение.