Номер 7, страница 111 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Трапецию (рис. 24.9) разрежьте на две части, из которых можно сложить треугольник.

Рис. 24.9

Для решения задачи проанализируем трапецию, изображенную на рис. 24.9. Примем сторону клетки сетки за единицу длины. Тогда верхнее (меньшее) основание трапеции равно $a=2$, нижнее (большее) основание равно $b=5$, а высота равна $h=3$. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$. Для данной трапеции площадь составляет $S = \frac{2+5}{2} \cdot 3 = \frac{7}{2} \cdot 3 = 10.5$ квадратных единиц. Наша цель — разрезать трапецию на две части, из которых можно сложить треугольник с такой же площадью.

Чтобы получить треугольник, необходимо выполнить один прямолинейный разрез. Правильный способ разрезания заключается в том, чтобы соединить одну из вершин меньшего основания с серединой противоположной ей непараллельной (боковой) стороны. Давайте для определенности введем систему координат. Пусть вершины трапеции имеют координаты: нижние — $(0,0)$ и $(5,0)$, а верхние — $(1,3)$ и $(3,3)$.

Выберем левую верхнюю вершину с координатами $(1,3)$. Противоположная ей боковая сторона соединяет вершины $(3,3)$ и $(5,0)$. Найдем середину этой стороны, точку $M$. Ее координаты равны полусумме координат концов отрезка: $M = \left(\frac{3+5}{2}, \frac{3+0}{2}\right) = (4, 1.5)$. Таким образом, разрез следует произвести по прямой, соединяющей точку $(1,3)$ и точку $(4, 1.5)$.

Этот разрез делит трапецию на две части: маленький треугольник (с вершинами $(1,3)$, $(3,3)$, $(4,1.5)$) и четырехугольник. Чтобы сложить из этих двух частей один большой треугольник, нужно маленький треугольник повернуть на $180^\circ$ вокруг его вершины $M(4, 1.5)$, которая является точкой разреза. При таком повороте вершина $(3,3)$ переместится в точку $(5,0)$, совместившись с вершиной исходной трапеции. Вершина $(1,3)$ переместится в новую точку с координатами $(2 \cdot 4 - 1, 2 \cdot 1.5 - 3) = (7,0)$.

В результате мы получим новый треугольник. Его вершинами будут: $(0,0)$, $(1,3)$ и новая вершина $(7,0)$. Основание этого треугольника будет лежать на горизонтальной оси, его длина составит $7 - 0 = 7$ единиц. Высота треугольника, опущенная из вершины $(1,3)$ на основание, будет равна $3$ единицам. Площадь полученного треугольника равна $S_{треуг} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 3 = 10.5$ квадратных единиц, что в точности равно площади исходной трапеции. Аналогичного результата можно добиться, если провести разрез от правой верхней вершины к середине левой боковой стороны.

Ответ: Необходимо провести разрез от одной из вершин верхнего (меньшего) основания трапеции до середины противоположной боковой стороны. Из полученных двух частей можно сложить треугольник.