Вопросы, страница 109 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какие фигуры называются равносоставленными?

2. Какие фигуры называются равновеликими?

3. Как связаны между собой равновеликость и равносоставленность произвольных фигур?

4. Как связаны между собой равновеликость и равносоставленность многоугольников?

1. Какие фигуры называются равносоставленными?

Равносоставленными называются две геометрические фигуры, если одну из них можно разрезать на конечное число частей и из этих частей сложить вторую фигуру. Более формально, фигуры $F_1$ и $F_2$ равносоставлены, если их можно разбить на одинаковое конечное число попарно конгруэнтных (равных) частей. То есть, если фигура $F_1$ состоит из частей $P_1, P_2, \ldots, P_n$, а фигура $F_2$ состоит из частей $Q_1, Q_2, \ldots, Q_n$, и при этом каждая часть $P_i$ конгруэнтна соответствующей части $Q_i$, то фигуры $F_1$ и $F_2$ являются равносоставленными. Части, на которые разрезается фигура, сами являются фигурами (например, многоугольниками).

Ответ: Фигуры, которые можно разрезать на одинаковый набор конгруэнтных (равных) частей, называются равносоставленными.

2. Какие фигуры называются равновеликими?

Равновеликими называются фигуры, имеющие одинаковую меру. Для плоских фигур (на плоскости) это означает, что у них равные площади. Для пространственных фигур (в пространстве) это означает, что у них равные объёмы. Например, квадрат со стороной 4 см и прямоугольник со сторонами 2 см и 8 см являются равновеликими, так как их площади равны: $S_1 = 4^2 = 16 \text{ см}^2$ и $S_2 = 2 \cdot 8 = 16 \text{ см}^2$. При этом сами фигуры не являются конгруэнтными. Таким образом, если площадь фигуры $F_1$ равна $S_1$, а площадь фигуры $F_2$ равна $S_2$, то они равновелики, если $S_1 = S_2$. Аналогично для объёмов $V_1$ и $V_2$.

Ответ: Равновеликими называются фигуры с равными площадями (для плоских фигур) или равными объёмами (для пространственных фигур).

3. Как связаны между собой равновеликость и равносоставленность произвольных фигур?

Связь между этими двумя понятиями для произвольных фигур является односторонней.
Любые две равносоставленные фигуры всегда являются равновеликими. Это следует из свойства аддитивности площади (или объёма): площадь (объём) всей фигуры равна сумме площадей (объёмов) её частей. Поскольку равносоставленные фигуры состоят из попарно конгруэнтных частей, а конгруэнтные части имеют одинаковую площадь (объём), то и суммы этих площадей (объёмов) будут равны. Таким образом, из равносоставленности всегда следует равновеликость.
Однако обратное утверждение в общем случае неверно: не всякие две равновеликие фигуры являются равносоставленными. Классическим примером являются пространственные фигуры. В 1900 году Макс Ден решил третью проблему Гильберта, доказав, что тетраэдр и куб равного объёма не являются равносоставленными. Также равновеликие круг и квадрат не являются равносоставленными (в смысле разрезания на конечное число многоугольников).

Ответ: Если две произвольные фигуры равносоставлены, то они обязательно равновелики. Обратное неверно: две равновеликие фигуры не обязательно являются равносоставленными.

4. Как связаны между собой равновеликость и равносоставленность многоугольников?

Для многоугольников на плоскости связь между равновеликостью и равносоставленностью является взаимно однозначной. Это означает, что эти два свойства эквивалентны.
1. Если два многоугольника равносоставлены, то они равновелики (аналогично пункту 3).
2. Если два многоугольника равновелики (имеют одинаковую площадь), то они равносоставлены.
Это утверждение является содержанием фундаментальной теоремы геометрии, известной как теорема Бойяи — Гервина (или Уоллеса — Бойяи — Гервина). Теорема гласит, что любые два простых многоугольника с одинаковой площадью являются равносоставленными. Доказательство этой теоремы конструктивно: оно показывает, что любой многоугольник можно разрезать на части и сложить из них квадрат такой же площади. Следовательно, любые два равновеликих многоугольника можно "перекроить" в один и тот же квадрат, а значит, они равносоставлены между собой.

Ответ: Для многоугольников понятия равновеликости и равносоставленности эквивалентны. Два многоугольника равносоставлены тогда и только тогда, когда они равновелики.