Номер 10, страница 108 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Две фигуры называются равносоставленными, если они могут быть разрезаны на одинаковое число попарно равных фигур. Приведите примеры равносоставленных фигур. Что можно сказать о площадях равносоставленных фигур?

Приведите примеры равносоставленных фигур.

Равносоставленными называются фигуры, которые можно разрезать на одинаковое число попарно равных частей. Классическим примером таких фигур являются параллелограмм и прямоугольник с одинаковыми основанием и высотой.

Рассмотрим параллелограмм ABCD. Проведем из вершины B высоту BE на основание AD. В результате параллелограмм окажется разрезан на две части: прямоугольный треугольник ABE и трапецию EBCD. Теперь, если переместить треугольник ABE к другой стороне параллелограмма так, чтобы сторона AB совпала со стороной DC, получится прямоугольник EBCF.

Таким образом, и исходный параллелограмм ABCD, и полученный прямоугольник EBCF составлены из двух попарно равных частей: трапеции EBCD и равных ей прямоугольных треугольников (ABE и DCF). Это доказывает, что они равносоставленны.

Другой пример — любой треугольник равносоставлен некоторому прямоугольнику.

Ответ: Примером равносоставленных фигур являются параллелограмм и прямоугольник с равными основаниями и высотами.

Что можно сказать о площадях равносоставленных фигур?

Если две фигуры, назовем их $F_1$ и $F_2$, являются равносоставленными, то их можно разбить на одинаковое количество попарно равных (конгруэнтных) частей. Пусть фигура $F_1$ состоит из частей $P_1, P_2, \dots, P_n$, а фигура $F_2$ — из частей $Q_1, Q_2, \dots, Q_n$, причем для любого $i$ часть $P_i$ равна части $Q_i$.

Одно из фундаментальных свойств площади гласит, что равные фигуры имеют равные площади. Следовательно, площадь каждой части $P_i$ равна площади соответствующей ей части $Q_i$. Обозначим площадь как $S$, тогда $S(P_i) = S(Q_i)$ для всех $i$ от 1 до $n$.

Площадь целой фигуры равна сумме площадей ее составляющих частей. Таким образом, мы можем записать:

Площадь фигуры $F_1$: $S(F_1) = S(P_1) + S(P_2) + \dots + S(P_n) = \sum_{i=1}^{n} S(P_i)$

Площадь фигуры $F_2$: $S(F_2) = S(Q_1) + S(Q_2) + \dots + S(Q_n) = \sum_{i=1}^{n} S(Q_i)$

Так как каждое слагаемое в первой сумме равно соответствующему слагаемому во второй сумме ($S(P_i) = S(Q_i)$), то и сами суммы равны. Отсюда следует, что $S(F_1) = S(F_2)$.

Этот вывод является основой теоремы Бойяи-Гервина, которая утверждает, что любые два многоугольника равной площади являются равносоставленными.

Ответ: Площади равносоставленных фигур равны.