Номер 4, страница 106 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Найдите площади многоугольников, изображенных на рисунке 23.4. Стороны квадратных клеток равны 1.

а)

б)

Рис. 23.4

а) Для нахождения площади шестиугольника, изображенного на клетчатой бумаге, можно воспользоваться двумя способами. Поскольку сторона одной клетки равна 1, площадь одной клетки равна 1 квадратной единице.
Способ 1: Разложение на простые фигуры
Шестиугольник можно разложить на один центральный прямоугольник и два одинаковых треугольника по бокам.
1. Центральный прямоугольник имеет ширину 2 клетки и высоту 4 клетки. Его площадь $S_{прямоугольника} = 2 \times 4 = 8$.
2. По бокам от прямоугольника расположены два одинаковых треугольника. Основание каждого треугольника равно 4 клеткам, а высота — 1 клетке. Площадь одного треугольника вычисляется как $S_{треугольника} = \frac{1}{2} \times основание \times высота = \frac{1}{2} \times 4 \times 1 = 2$.
3. Общая площадь шестиугольника — это сумма площадей прямоугольника и двух треугольников:
$S_{общая} = S_{прямоугольника} + 2 \times S_{треугольника} = 8 + 2 \times 2 = 12$ квадратных единиц.

Способ 2: Формула Пика
Площадь многоугольника, все вершины которого лежат в узлах целочисленной решётки, можно вычислить по формуле Пика: $S = В + \frac{Г}{2} - 1$, где $В$ — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а $Г$ — количество целочисленных точек на его границе.
1. Подсчитаем количество точек на границе ($Г$). На границе шестиугольника лежат 8 узловых точек. Таким образом, $Г = 8$.
2. Подсчитаем количество точек внутри ($В$). Внутри фигуры находятся 9 узловых точек. Таким образом, $В = 9$.
3. Вычислим площадь по формуле:
$S = 9 + \frac{8}{2} - 1 = 9 + 4 - 1 = 12$ квадратных единиц.
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: 12.

б) Для нахождения площади восьмиугольника также можно применить два способа.
Способ 1: Метод вычитания
Фигуру можно представить как большой квадрат, из которого вырезали четыре одинаковых треугольника по углам.
1. Восьмиугольник вписан в квадрат со стороной 6 клеток. Площадь этого квадрата $S_{квадрата} = 6 \times 6 = 36$ квадратных единиц.
2. По углам этого квадрата расположены четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Катеты каждого треугольника равны 2 клеткам. Площадь одного такого треугольника $S_{треугольника} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ квадратные единицы.
3. Чтобы найти площадь восьмиугольника, нужно из площади большого квадрата вычесть суммарную площадь четырех треугольников:
$S_{общая} = S_{квадрата} - 4 \times S_{треугольника} = 36 - 4 \times 2 = 36 - 8 = 28$ квадратных единиц.

Способ 2: Формула Пика
Используем формулу Пика $S = В + \frac{Г}{2} - 1$.
1. Подсчитаем количество точек на границе ($Г$). На границе восьмиугольника лежат 16 узловых точек. Таким образом, $Г = 16$.
2. Подсчитаем количество точек внутри ($В$). Внутри фигуры находится 21 узловая точка. Таким образом, $В = 21$.
3. Вычислим площадь по формуле:
$S = 21 + \frac{16}{2} - 1 = 21 + 8 - 1 = 28$ квадратных единиц.
Оба способа приводят к одному и тому же ответу.
Ответ: 28.