Вопросы, страница 106 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Как можно найти площадь выпуклого многоугольника?

2. Чему равна площадь выпуклого четырехугольника?

3. Чему равна площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны?

1. Как можно найти площадь выпуклого многоугольника?
Одним из основных способов нахождения площади выпуклого многоугольника является метод триангуляции. Он заключается в том, чтобы разбить многоугольник на несколько треугольников, площади которых легко вычислить. Для этого из любой вершины многоугольника проводят все возможные диагонали. Выпуклый $n$-угольник при этом разбивается на $(n-2)$ треугольника. Общая площадь многоугольника будет равна сумме площадей всех этих треугольников. Площадь каждого отдельного треугольника можно найти, используя подходящую формулу, например, формулу Герона (если известны все стороны) или формулу площади через произведение двух сторон на синус угла между ними.
Ответ: Площадь выпуклого многоугольника можно найти как сумму площадей треугольников, на которые он разбит диагоналями, проведенными из одной его вершины.

2. Чему равна площадь выпуклого четырехугольника?
Площадь произвольного выпуклого четырехугольника может быть найдена через его диагонали и угол между ними. Она равна половине произведения длин его диагоналей на синус угла между ними. Пусть $d_1$ и $d_2$ — это длины диагоналей четырехугольника, а $\alpha$ — один из углов между этими диагоналями. Тогда его площадь $S$ вычисляется по формуле:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \alpha$
Ответ: Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

3. Чему равна площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны?
Это является частным случаем формулы, приведенной в предыдущем пункте. Если диагонали выпуклого четырехугольника перпендикулярны, то угол между ними равен $90^\circ$. Синус прямого угла равен единице, то есть $\sin 90^\circ = 1$. Подставив это значение в общую формулу площади четырехугольника, получаем:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin 90^\circ = \frac{1}{2} d_1 d_2 \cdot 1 = \frac{1}{2} d_1 d_2$
Таким образом, площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналями равна половине произведения длин его диагоналей. Примерами таких фигур являются ромб и дельтоид.
Ответ: Площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна половине произведения его диагоналей.