Номер 18, страница 105 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Докажите, что в трапеции ABCD $S_2 = \frac{S_1 + S_3}{2}$ (рис. 22.9).

Рис. 22.9

По условию, в трапеции $ABCD$ боковые стороны $AB$ и $CD$ разделены на три равные части точками $K, L$ и $M, N$ соответственно ($BK = KL = LA$ и $CM = MN = ND$). Прямые $KM$ и $LN$ параллельны основаниям $BC$ и $AD$. В результате трапеция $ABCD$ разделена на три меньшие трапеции: $BCMK$ (с площадью $S_1$), $KMNL$ (с площадью $S_2$) и $LNDA$ (с площадью $S_3$).

Так как отрезки, делящие боковые стороны, равны, то высоты этих трех малых трапеций также равны. Обозначим эту высоту как $h$.

Пусть длины параллельных отрезков равны $BC = l_0$, $KM = l_1$, $LN = l_2$ и $AD = l_3$. Покажем, что эти длины образуют арифметическую прогрессию.

Отрезок $LN$ является средней линией трапеции $KMDA$. Следовательно, по свойству средней линии: $l_2 = \frac{l_1 + l_3}{2}$, откуда $2l_2 = l_1 + l_3$. Это можно переписать как $l_2 - l_1 = l_3 - l_2$.

Аналогично, отрезок $KM$ является средней линией трапеции $BCNL$. Следовательно: $l_1 = \frac{l_0 + l_2}{2}$, откуда $2l_1 = l_0 + l_2$. Это можно переписать как $l_1 - l_0 = l_2 - l_1$.

Таким образом, мы получили $l_1 - l_0 = l_2 - l_1 = l_3 - l_2$. Это означает, что длины $l_0, l_1, l_2, l_3$ являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Для такой прогрессии выполняется свойство: сумма крайних членов равна сумме средних, то есть $l_0 + l_3 = l_1 + l_2$.

Теперь выразим площади $S_1, S_2, S_3$ через введенные обозначения, используя формулу площади трапеции $S = \frac{a+b}{2}h$: $S_1 = \frac{l_0 + l_1}{2} \cdot h$ $S_2 = \frac{l_1 + l_2}{2} \cdot h$ $S_3 = \frac{l_2 + l_3}{2} \cdot h$

Нам необходимо доказать, что $S_2 = \frac{S_1 + S_3}{2}$. Давайте вычислим правую часть этого равенства: $\frac{S_1 + S_3}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{l_0 + l_1}{2} \cdot h + \frac{l_2 + l_3}{2} \cdot h \right) = \frac{h}{4} (l_0 + l_1 + l_2 + l_3)$

Используем ранее доказанное свойство $l_0 + l_3 = l_1 + l_2$. Подставим $l_0 + l_3$ в полученное выражение: $\frac{S_1 + S_3}{2} = \frac{h}{4} ((l_1 + l_2) + (l_1 + l_2)) = \frac{h}{4} \cdot 2(l_1 + l_2) = \frac{h(l_1 + l_2)}{2}$

Полученное выражение в точности совпадает с выражением для площади $S_2$: $S_2 = \frac{l_1 + l_2}{2} \cdot h$

Следовательно, мы показали, что $S_2 = \frac{S_1 + S_3}{2}$.

Ответ: что и требовалось доказать.