Номер 11, страница 104 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, разбивает ее на две равновеликие части (рис. 22.3).

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AB и CD. Пусть E — середина основания AB и F — середина основания CD. Необходимо доказать, что отрезок EF делит трапецию ABCD на две равновеликие части, то есть на две фигуры с равными площадями.

Отрезок EF разбивает трапецию ABCD на два четырехугольника: AEFD и EBCF. Так как основания трапеции $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$), то их отрезки также параллельны друг другу. Следовательно, $AE \parallel DF$ и $EB \parallel FC$. Это означает, что четырехугольники AEFD и EBCF являются трапециями.

Проведем высоту исходной трапеции ABCD, перпендикулярную основаниям. Обозначим ее длину как $h$. Эта высота будет общей для трапеций AEFD и EBCF.

Площадь трапеции находится по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

Вычислим площадь трапеции AEFD. Ее основаниями являются отрезки AE и DF, а высота равна $h$.

$S_{AEFD} = \frac{AE + DF}{2} \cdot h$

Теперь вычислим площадь трапеции EBCF. Ее основаниями являются отрезки EB и FC, а высота также равна $h$.

$S_{EBCF} = \frac{EB + FC}{2} \cdot h$

Согласно условию задачи, точка E является серединой основания AB, поэтому $AE = EB$. Аналогично, точка F является серединой основания CD, поэтому $DF = FC$.

Сравним выражения для площадей. Так как $AE = EB$ и $DF = FC$, то суммы длин оснований этих двух малых трапеций равны:

$AE + DF = EB + FC$

Поскольку правые части формул для площадей трапеций AEFD и EBCF равны ($\frac{AE + DF}{2} \cdot h = \frac{EB + FC}{2} \cdot h$), то равны и сами площади:

$S_{AEFD} = S_{EBCF}$

Таким образом, доказано, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, разбивает ее на две равновеликие части.

Ответ: Утверждение доказано. Две полученные трапеции AEFD и EBCF имеют одинаковую высоту $h$. Суммы длин их оснований равны, так как по условию $AE=EB$ и $DF=FC$, следовательно $AE+DF = EB+FC$. Поскольку площади обеих трапеций вычисляются по формуле «полусумма оснований на высоту», их площади равны.