Номер 12, страница 104 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Докажите, что прямая, проходящая через середину средней линии трапеции и пересекающая основания (рис. 22.4), делит эту трапецию на две равновеликие части.

Рис. 22.4

12. Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$, причем $AB \parallel CD$. Пусть $EF$ — её средняя линия, где $E$ — середина боковой стороны $AD$, а $F$ — середина боковой стороны $BC$. Пусть точка $G$ — середина средней линии $EF$. Через точку $G$ проведена прямая, которая пересекает основания $AB$ и $CD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Требуется доказать, что эта прямая делит трапецию $ABCD$ на две равновеликие части, то есть на две фигуры с равными площадями. Этими фигурами являются трапеции $APQD$ и $PBCQ$. Таким образом, мы должны доказать, что площадь $S_{APQD}$ равна площади $S_{PBCQ}$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота. Пусть высота трапеции $ABCD$ равна $h$. Тогда высота каждой из трапеций $APQD$ и $PBCQ$ также равна $h$.

$S_{APQD} = \frac{AP + DQ}{2} \cdot h$

$S_{PBCQ} = \frac{PB + CQ}{2} \cdot h$

Для доказательства равенства площадей $S_{APQD} = S_{PBCQ}$ достаточно доказать равенство сумм длин их оснований: $AP + DQ = PB + CQ$.

Мы знаем, что $PB = AB - AP$ и $CQ = CD - DQ$. Подставим эти выражения в доказываемое равенство:

$AP + DQ = (AB - AP) + (CD - DQ)$

$2 \cdot AP + 2 \cdot DQ = AB + CD$

$AP + DQ = \frac{AB + CD}{2}$

Таким образом, задача сводится к доказательству того, что сумма длин отрезков $AP$ и $DQ$ равна полусумме оснований трапеции, то есть длине её средней линии $EF$.

Для доказательства этого факта воспользуемся методом координат, а затем дадим геометрическую интерпретацию. Рассмотрим два ключевых свойства точки $G$.

Свойство 1: Точка $G$ является серединой отрезка, соединяющего середины оснований.

Пусть $M$ — середина основания $AB$, а $N$ — середина основания $CD$. Введём на плоскости систему координат. Координаты точки $G$ (середины средней линии $EF$) можно выразить через координаты вершин трапеции:

$G = \frac{E+F}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{A+D}{2} + \frac{B+C}{2} \right) = \frac{A+B+C+D}{4}$

Координаты середины отрезка $MN$:

$\frac{M+N}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{A+B}{2} + \frac{C+D}{2} \right) = \frac{A+B+C+D}{4}$

Координаты совпадают, следовательно, точка $G$ является серединой отрезка $MN$.

Свойство 2: Точка $G$ является серединой отрезка $PQ$.

Прямые $AB$, $EF$ и $CD$ параллельны. По определению, средняя линия $EF$ находится на одинаковом расстоянии от каждого из оснований. По обобщенной теореме Фалеса, если три параллельные прямые отсекают на одной секущей (например, на боковой стороне $AD$) равные отрезки ($AE=ED$), то они отсекают равные отрезки и на любой другой секущей. В нашем случае секущей является прямая $PQ$. Следовательно, $PG = GQ$, то есть точка $G$ — середина отрезка $PQ$.

Завершение доказательства.

Рассмотрим четырехугольник $MPNQ$. Его диагонали $MN$ и $PQ$ пересекаются в точке $G$ и делятся ею пополам. Четырехугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, $MPNQ$ — параллелограмм.

Из свойства параллелограмма следует, что его противоположные стороны параллельны и равны. В частности, сторона $MP$ параллельна стороне $NQ$ и их длины равны: $MP = NQ$.

Введём одномерные системы координат на основаниях $AB$ и $CD$. Направим оси в одну сторону. Пусть начала координат ($0$) находятся в точках $M$ и $N$. Тогда точка $P$ на прямой $AB$ имеет координату $x_P = MP$ (или $x_P = -MP$ в зависимости от направления), а точка $Q$ на прямой $CD$ имеет координату $x_Q = NQ$ (или $x_Q = -NQ$). Из векторного равенства $\vec{MP} = \vec{QN}$ следует, что координаты $P$ и $Q$ относительно середин оснований противоположны: $x_P = -x_Q$.

Теперь выразим сумму $AP + DQ$. Пусть для определенности $A$ и $D$ — левые вершины, а $B$ и $C$ — правые.

$AP = AM + MP = \frac{AB}{2} + MP$ (если $P$ правее $M$)

$DQ = DN - NQ = \frac{CD}{2} - NQ$ (так как $\vec{NQ}$ будет направлен влево, если $\vec{MP}$ вправо)

Тогда $AP + DQ = (\frac{AB}{2} + MP) + (\frac{CD}{2} - NQ)$. Так как $MP = NQ$, получаем:

$AP + DQ = \frac{AB}{2} + \frac{CD}{2} = \frac{AB+CD}{2}$

Мы доказали, что $AP + DQ = \frac{AB+CD}{2}$, что и требовалось для доказательства равенства площадей.

Таким образом, $S_{APQD} = S_{PBCQ}$, и прямая $PQ$ делит трапецию на две равновеликие части.

Ответ: Утверждение доказано.