Номер 14, страница 104 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

14. В треугольнике $ABC$ через точку $M$ пересечения его медиан проведены отрезки, параллельные сторонам треугольника (рис. 22.6). Докажите, что образовавшиеся при этом три трапеции равновелики.

Доказательство:

Пусть дан треугольник $ABC$, его площадь обозначим как $S$. Пусть $M$ – точка пересечения его медиан (центроид). Согласно условию задачи, через точку $M$ проводятся три отрезка, каждый из которых параллелен одной из сторон треугольника. Это создает три трапеции. Рассмотрим каждую из них.

1. Проведем через точку $M$ отрезок $K_1K_2$, параллельный стороне $AB$, где точка $K_1$ лежит на стороне $AC$, а точка $K_2$ – на стороне $BC$. Образуется трапеция $ABK_2K_1$.Треугольник $K_1CK_2$ подобен треугольнику $ACB$ ($\triangle K_1CK_2 \sim \triangle ACB$), так как $K_1K_2 \parallel AB$. Коэффициент подобия $k_C$ равен отношению их высот, опущенных из общей вершины $C$. Пусть $CC_1$ – медиана, проведенная к стороне $AB$. Точка $M$ лежит на этой медиане и, по свойству медиан, делит ее в отношении $CM:MC_1 = 2:1$. Отсюда следует, что $CM = \frac{2}{3}CC_1$. Так как точка $M$ лежит на прямой $K_1K_2$, то отношение высот $\triangle K_1CK_2$ и $\triangle ACB$ равно отношению отрезков медианы: $k_C = \frac{CM}{CC_1} = \frac{2}{3}$.Площадь $\triangle K_1CK_2$ связана с площадью $\triangle ABC$ через квадрат коэффициента подобия: $S_{K_1CK_2} = k_C^2 \cdot S = (\frac{2}{3})^2 S = \frac{4}{9}S$.Тогда площадь трапеции $S_{ABK_2K_1}$ равна разности площадей $\triangle ABC$ и $\triangle K_1CK_2$:$S_{ABK_2K_1} = S - S_{K_1CK_2} = S - \frac{4}{9}S = \frac{5}{9}S$.

2. Аналогично, проведем через точку $M$ отрезок $L_1L_2$, параллельный стороне $BC$ ($L_1 \in AB$, $L_2 \in AC$). Образуется трапеция $BCL_2L_1$. Треугольник $AL_1L_2$ подобен $\triangle ABC$. Коэффициент подобия $k_A$ определяется отношением отрезков медианы $AA_1$, на которой лежит точка $M$: $AM:MA_1 = 2:1$, откуда $AM = \frac{2}{3}AA_1$. Коэффициент подобия $k_A = \frac{AM}{AA_1} = \frac{2}{3}$.Площадь $\triangle AL_1L_2 = k_A^2 \cdot S = (\frac{2}{3})^2 S = \frac{4}{9}S$.Площадь трапеции $BCL_2L_1 = S - S_{AL_1L_2} = S - \frac{4}{9}S = \frac{5}{9}S$.

3. Наконец, проведем через точку $M$ отрезок $N_1N_2$, параллельный стороне $AC$ ($N_1 \in AB$, $N_2 \in BC$). Образуется трапеция $ACN_2N_1$. Треугольник $BN_1N_2$ подобен $\triangle ABC$. Коэффициент подобия $k_B$ определяется отношением отрезков медианы $BB_1$, на которой лежит точка $M$: $BM:MB_1 = 2:1$, откуда $BM = \frac{2}{3}BB_1$. Коэффициент подобия $k_B = \frac{BM}{BB_1} = \frac{2}{3}$.Площадь $\triangle BN_1N_2 = k_B^2 \cdot S = (\frac{2}{3})^2 S = \frac{4}{9}S$.Площадь трапеции $ACN_2N_1 = S - S_{BN_1N_2} = S - \frac{4}{9}S = \frac{5}{9}S$.

Таким образом, все три трапеции имеют одинаковую площадь, равную $\frac{5}{9}$ площади исходного треугольника, следовательно, они равновелики.

Ответ: Доказано, что три образовавшиеся трапеции равновелики. Площадь каждой из них составляет $\frac{5}{9}$ площади исходного треугольника.