Номер 7, страница 103 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Основания трапеции равны 36 см и 12 см, боковая сторона, равная 7 см, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

Для нахождения площади трапеции воспользуемся формулой $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ - основания трапеции, а $h$ - её высота.

Из условия задачи нам известны длины оснований: $a = 36$ см и $b = 12$ см. Также известна длина одной из боковых сторон, назовем её $c$, которая равна $7$ см. Эта сторона образует с одним из оснований угол $150^\circ$.

В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, составляет $180^\circ$. Поскольку угол $150^\circ$ является тупым, он должен прилегать к меньшему основанию. Угол, прилежащий к большему основанию со стороны той же боковой стороны, будет острым и будет равен $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Чтобы найти высоту трапеции $h$, проведем её из вершины тупого угла к большему основанию. В результате мы получим прямоугольный треугольник. В этом треугольнике боковая сторона трапеции ($c = 7$ см) будет гипотенузой, а высота $h$ — катетом, лежащим напротив угла в $30^\circ$.

Из свойств прямоугольного треугольника известно, что катет, противолежащий углу в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Следовательно, мы можем вычислить высоту:$h = c \cdot \sin(30^\circ) = 7 \cdot \frac{1}{2} = 3.5$ см.

Теперь, когда все необходимые значения известны, мы можем рассчитать площадь трапеции:$S = \frac{36 + 12}{2} \cdot 3.5 = \frac{48}{2} \cdot 3.5 = 24 \cdot 3.5 = 84$ см$^2$.

Ответ: 84 см$^2$.