Номер 9, страница 103 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 3 см и 1 см, большая боковая сторона составляет с основанием угол $45^\circ$.

Пусть дана прямоугольная трапеция, у которой основания равны $a$ и $b$, а высота равна $h$. По условию задачи, основания равны $a = 3$ см и $b = 1$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Для нахождения площади нам необходимо определить высоту трапеции $h$. В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям и является высотой. Назовем ее $h$. Другая, большая боковая сторона, наклонена к основанию под углом $45^\circ$.

Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему основанию. Эта высота разделит трапецию на прямоугольник и прямоугольный треугольник. Стороны прямоугольника будут равны меньшему основанию и высоте трапеции. Катеты полученного прямоугольного треугольника будут равны высоте трапеции $h$ и отрезку на большем основании, который равен разности длин оснований.

Длина этого отрезка (одного из катетов) равна:$a - b = 3 \text{ см} - 1 \text{ см} = 2 \text{ см}$.

В полученном прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45^\circ$ (по условию). Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, второй острый угол также равен $180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Следовательно, этот треугольник является равнобедренным, и его катеты равны. Один катет равен $2$ см, значит и второй катет, который является высотой трапеции, также равен $2$ см.Таким образом, высота трапеции $h = 2$ см.

Теперь можем вычислить площадь трапеции:$S = \frac{3+1}{2} \cdot 2 = \frac{4}{2} \cdot 2 = 2 \cdot 2 = 4 \text{ см}^2$.

Ответ: 4 см².